Analysis Beispiele

$h (w) = \frac{8}{{(w^{3} + 4)}^{5}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Da $8$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8}{{(w^{3} + 4)}^{5}}$ nach $w$ gleich $8 \frac{d}{d w} [\frac{1}{{(w^{3} + 4)}^{5}}]$ .

$8 \frac{d}{d w} [\frac{1}{{(w^{3} + 4)}^{5}}]$

Schritt 1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(w^{3} + 4)}^{5}}$ als ${({(w^{3} + 4)}^{5})}^{- 1}$ um.

$8 \frac{d}{d w} [{({(w^{3} + 4)}^{5})}^{- 1}]$

Schritt 1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(w^{3} + 4)}^{5})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{d}{d w} [{(w^{3} + 4)}^{5 \cdot - 1}]$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$8 \frac{d}{d w} [{(w^{3} + 4)}^{- 5}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ ist $f' (g (w)) g' (w)$ , mit $f (w) = w^{- 5}$ und $g (w) = w^{3} + 4$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $w^{3} + 4$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 5}] \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 5$ .

$8 (- 5 u^{- 6} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $w^{3} + 4$ .

$8 (- 5 {(w^{3} + 4)}^{- 6} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $8$ .

$- 40 ({(w^{3} + 4)}^{- 6} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $w^{3} + 4$ nach $w$ $\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [4]$ .

$- 40 {(w^{3} + 4)}^{- 6} (\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [4])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 40 {(w^{3} + 4)}^{- 6} (3 w^{2} + \frac{d}{d w} [4])$

Schritt 3.4

Da $4$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $w$ gleich $0$ .

$- 40 {(w^{3} + 4)}^{- 6} (3 w^{2} + 0)$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Addiere $3 w^{2}$ und $0$ .

$- 40 {(w^{3} + 4)}^{- 6} (3 w^{2})$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 40$ .

$- 120 {(w^{3} + 4)}^{- 6} w^{2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 120 \frac{1}{{(w^{3} + 4)}^{6}} w^{2}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $- 120$ und $\frac{1}{{(w^{3} + 4)}^{6}}$ .

$\frac{- 120}{{(w^{3} + 4)}^{6}} w^{2}$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{120}{{(w^{3} + 4)}^{6}} w^{2}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $w^{2}$ und $\frac{120}{{(w^{3} + 4)}^{6}}$ .

$- \frac{w^{2} \cdot 120}{{(w^{3} + 4)}^{6}}$

Schritt 4.2.4

Bringe $120$ auf die linke Seite von $w^{2}$ .

$- \frac{120 w^{2}}{{(w^{3} + 4)}^{6}}$