Analysis Beispiele

$y = \frac{9}{7 w^{5}} + 9 \sqrt[4]{w}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{9}{7 w^{5}} + 9 \sqrt[4]{w}$ nach $w$ $\frac{d}{d w} [\frac{9}{7 w^{5}}] + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$ .

$\frac{d}{d w} [\frac{9}{7 w^{5}}] + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d w} [\frac{9}{7 w^{5}}]$ .

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Schritt 2.1

Da $\frac{9}{7}$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $\frac{9}{7 w^{5}}$ nach $w$ gleich $\frac{9}{7} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{5}}]$ .

$\frac{9}{7} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{5}}] + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{w^{5}}$ als ${(w^{5})}^{- 1}$ um.

$\frac{9}{7} \frac{d}{d w} [{(w^{5})}^{- 1}] + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ ist $f' (g (w)) g' (w)$ , mit $f (w) = w^{- 1}$ und $g (w) = w^{5}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $w^{5}$ .

$\frac{9}{7} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d w} [w^{5}]) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{9}{7} (- u^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{5}]) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $w^{5}$ .

$\frac{9}{7} (- {(w^{5})}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{5}]) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{9}{7} (- {(w^{5})}^{- 2} (5 w^{4})) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Schritt 2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(w^{5})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{7} (- w^{5 \cdot - 2} (5 w^{4})) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$\frac{9}{7} (- w^{- 10} (5 w^{4})) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{9}{7} (- 5 w^{- 10} w^{4}) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Schritt 2.7

Multipliziere $w^{- 10}$ mit $w^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.1

Bewege $w^{4}$ .

$\frac{9}{7} (- 5 (w^{4} w^{- 10})) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Schritt 2.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9}{7} (- 5 w^{4 - 10}) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Schritt 2.7.3

Subtrahiere $10$ von $4$ .

$\frac{9}{7} (- 5 w^{- 6}) + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Schritt 2.8

Kombiniere $- 5$ und $\frac{9}{7}$ .

$\frac{- 5 \cdot 9}{7} w^{- 6} + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $- 5$ mit $9$ .

$\frac{- 45}{7} w^{- 6} + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Schritt 2.10

Kombiniere $\frac{- 45}{7}$ und $w^{- 6}$ .

$\frac{- 45 w^{- 6}}{7} + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Schritt 2.11

Bringe $w^{- 6}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 45}{7 w^{6}} + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Schritt 2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{45}{7 w^{6}} + \frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d w} [9 \sqrt[4]{w}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{w}$ als $w^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{45}{7 w^{6}} + \frac{d}{d w} [9 w^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 3.2

Da $9$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $9 w^{\frac{1}{4}}$ nach $w$ gleich $9 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{4}}]$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{4}$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{\frac{1}{4} - 1})$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{\frac{1 - 4}{4}})$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{\frac{- 3}{4}})$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 (\frac{1}{4} w^{- \frac{3}{4}})$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $w^{- \frac{3}{4}}$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + 9 \frac{w^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Schritt 3.10

Kombiniere $9$ und $\frac{w^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + \frac{9 w^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Schritt 3.11

Bringe $w^{- \frac{3}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{45}{7 w^{6}} + \frac{9}{4 w^{\frac{3}{4}}}$