Analysis Beispiele

$\frac{x^{3} - 1}{2 x^{3} + 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{3} - 1$ und $g (x) = 2 x^{3} + 1$ .

$\frac{(2 x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 1] - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 1]}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(2 x^{3} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 1]}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{(2 x^{3} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 1]}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(2 x^{3} + 1) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 1]}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{(2 x^{3} + 1) (3 x^{2}) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 1]}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $2 x^{3} + 1$ .

$\frac{3 \cdot (2 x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 1]}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3 (2 x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{3 (2 x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{3 (2 x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3 (2 x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{3 (2 x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (6 x^{2} + 0)}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.10.1

Addiere $6 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{3 (2 x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (6 x^{2})}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{3 (2 x^{3} + 1) x^{2} - 6 (x^{3} - 1) x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 (2 x^{3}) + 3 \cdot 1) x^{2} - 6 (x^{3} - 1) x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 x^{3}) x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 6 (x^{3} - 1) x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 x^{3}) x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} + (- 6 x^{3} - 6 \cdot - 1) x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 x^{3}) x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 6 x^{3} x^{2} - 6 \cdot - 1 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.1.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{3 (2 (x^{2} x^{3})) + 3 \cdot 1 x^{2} - 6 x^{3} x^{2} - 6 \cdot - 1 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 (2 x^{2 + 3}) + 3 \cdot 1 x^{2} - 6 x^{3} x^{2} - 6 \cdot - 1 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.1.3

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{3 (2 x^{5}) + 3 \cdot 1 x^{2} - 6 x^{3} x^{2} - 6 \cdot - 1 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 x^{5} + 3 \cdot 1 x^{2} - 6 x^{3} x^{2} - 6 \cdot - 1 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{6 x^{5} + 3 x^{2} - 6 x^{3} x^{2} - 6 \cdot - 1 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.4

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.1.4.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{5} + 3 x^{2} - 6 (x^{2} x^{3}) - 6 \cdot - 1 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 x^{5} + 3 x^{2} - 6 x^{2 + 3} - 6 \cdot - 1 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.4.3

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{6 x^{5} + 3 x^{2} - 6 x^{5} - 6 \cdot - 1 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$\frac{6 x^{5} + 3 x^{2} - 6 x^{5} + 6 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 x^{5} + 3 x^{2} - 6 x^{5} + 6 x^{2}$ .

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Schritt 3.5.2.1

Subtrahiere $6 x^{5}$ von $6 x^{5}$ .

$\frac{3 x^{2} + 0 + 6 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{3 x^{2} + 6 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Addiere $3 x^{2}$ und $6 x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$