Analysis Beispiele

$(1 + \sec (x)) \sin (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 1 + \sec (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$(1 + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \sec (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Schritt 3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 4

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) (\sec (x) \tan (x))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cos (x) + \sec (x) \cos (x) + \sin (x) \sec (x) \tan (x)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) + \sec (x) \cos (x) + \sin (x) \sec (x) \tan (x)$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$\cos (x) \sec (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.1.1

Stelle $\cos (x)$ und $\sec (x)$ um.

$\sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

Schritt 5.4.1.2

Schreibe $\cos (x) \sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

Schritt 5.4.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$1 + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

Schritt 5.4.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 + \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

Schritt 5.4.3

Kombiniere $\frac{1}{\cos (x)}$ und $\sin (x)$ .

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \tan (x) + \cos (x)$

Schritt 5.4.4

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 5.4.5

Multipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 5.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 5.4.5.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$1 + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 5.4.5.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$1 + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 5.4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 5.4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 5.4.5.6

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 5.4.5.7

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \cos (x)$

Schritt 5.4.5.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \cos (x)$

Schritt 5.4.5.9

Addiere $1$ und $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x)$

Schritt 5.5

Wandle von $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ nach $\tan^{2} (x)$ um.

$1 + \tan^{2} (x) + \cos (x)$

Schritt 5.6

Ordne Terme um.

$\tan^{2} (x) + 1 + \cos (x)$

Schritt 5.7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\sec^{2} (x) + \cos (x)$