Analysis Beispiele

$(x^{2} - 8 x + 8) e^{\frac{9 x}{8}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} - 8 x + 8$ und $g (x) = e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{d}{d x} [e^{\frac{9 x}{8}}] + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{9 x}{8}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{9 x}{8}$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{8}]) + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{8}]) + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{9 x}{8}$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) (e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{8}]) + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $\frac{9}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{9 x}{8}$ nach $x$ gleich $\frac{9}{8} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) e^{\frac{9 x}{8}} (\frac{9}{8} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{9}{8}$ und $e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} \cdot 1 + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $x^{2} - 8 x + 8$ mit $1$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 8 x + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 3.7

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 3.10

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x - 8 + 0)$

Schritt 3.11

Addiere $2 x - 8$ und $0$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x - 8)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} - 8 x \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x - 8)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} - 8 x \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} - 8 x \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $- 8$ und $\frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x \frac{- 8 (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 8$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x \frac{- 72 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Schritt 4.3.4

Kombiniere $x$ und $\frac{- 72 e^{\frac{9 x}{8}}}{8}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + \frac{x (- 72 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 72$ und $8$ .

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Schritt 4.3.5.1

Faktorisiere $8$ aus $x (- 72 e^{\frac{9 x}{8}})$ heraus.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + \frac{8 (x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}))}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Schritt 4.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.5.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + \frac{8 (x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}))}{8 (1)} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Schritt 4.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + \frac{8 (x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}))}{8 \cdot 1} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Schritt 4.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + \frac{x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}})}{1} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Schritt 4.3.5.2.4

Dividiere $x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}})$ durch $1$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Schritt 4.3.6

Kombiniere $8$ und $\frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + \frac{8 (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $9$ mit $8$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + \frac{72 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Schritt 4.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $72$ und $8$ .

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Schritt 4.3.8.1

Faktorisiere $8$ aus $72 e^{\frac{9 x}{8}}$ heraus.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + \frac{8 (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Schritt 4.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.8.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + \frac{8 (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8 (1)} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Schritt 4.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + \frac{8 (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8 \cdot 1} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Schritt 4.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{1} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Schritt 4.3.8.2.4

Dividiere $9 e^{\frac{9 x}{8}}$ durch $1$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + 9 e^{\frac{9 x}{8}} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Schritt 4.3.9

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von $e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + 9 e^{\frac{9 x}{8}} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) - 8 \cdot e^{\frac{9 x}{8}}$

Schritt 4.3.10

Bewege $e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} - 9 \cdot x e^{\frac{9 x}{8}} + 2 x e^{\frac{9 x}{8}} + 9 e^{\frac{9 x}{8}} - 8 e^{\frac{9 x}{8}}$

Schritt 4.3.11

Addiere $- 9 x e^{\frac{9 x}{8}}$ und $2 x e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} - 7 x e^{\frac{9 x}{8}} + 9 e^{\frac{9 x}{8}} - 8 e^{\frac{9 x}{8}}$

Schritt 4.3.12

Subtrahiere $8 e^{\frac{9 x}{8}}$ von $9 e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} - 7 x e^{\frac{9 x}{8}} + e^{\frac{9 x}{8}}$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} - 7 e^{\frac{9 x}{8}} x + e^{\frac{9 x}{8}}$

Schritt 4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Forme um.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} - 7 e^{\frac{9 x}{8}} x + e^{\frac{9 x}{8}}$

Schritt 4.5.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{x^{2} \cdot 9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} - 7 e^{\frac{9 x}{8}} x + e^{\frac{9 x}{8}}$

Schritt 4.5.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} e^{\frac{9 x}{8}}}{8} - 7 e^{\frac{9 x}{8}} x + e^{\frac{9 x}{8}}$

Schritt 4.6

Stelle die Faktoren in $\frac{9 x^{2} e^{\frac{9 x}{8}}}{8} - 7 e^{\frac{9 x}{8}} x + e^{\frac{9 x}{8}}$ um.

$\frac{9 x^{2} e^{\frac{9 x}{8}}}{8} - 7 x e^{\frac{9 x}{8}} + e^{\frac{9 x}{8}}$