Analysis Beispiele

$(x^{2} - 3) e^{x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} - 3$ und $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 3) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x^{2} - 3) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{2} - 3) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 3.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} - 3) e^{x} + e^{x} (2 x + 0)$

Schritt 3.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$(x^{2} - 3) e^{x} + e^{x} (2 x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} e^{x} - 3 e^{x} + e^{x} (2 x)$

Schritt 4.2

Stelle die Terme um.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 3 e^{x}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren in $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 3 e^{x}$ um.

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 3 e^{x}$