Analysis Beispiele

$r (t) = (t + e^{t}) (4 - \sqrt{t})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [(t + e^{t}) (4 - t^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t + e^{t}$ und $g (t) = 4 - t^{\frac{1}{2}}$ .

$(t + e^{t}) \frac{d}{d t} [4 - t^{\frac{1}{2}}] + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - t^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$ .

$(t + e^{t}) (\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Schritt 3.2

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$(t + e^{t}) (0 + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$ .

$(t + e^{t}) \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}] + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$(t + e^{t}) (- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Schritt 8

Differenziere.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Schritt 8.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$(t + e^{t}) (- \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Schritt 8.2.2

Bringe $t^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(t + e^{t}) (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Schritt 8.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + e^{t}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$(t + e^{t}) (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(t + e^{t}) (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ gleich $a^{t} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(t + e^{t}) (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$t (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Schritt 10.2

Vereine die Terme

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $t$ und $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Schritt 10.2.2

Bringe $t^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{t \cdot t^{- \frac{1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Schritt 10.2.3

Multipliziere $t$ mit $t^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.2.3.1

Mutltipliziere $t$ mit $t^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 10.2.3.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$- \frac{t^{1} t^{- \frac{1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Schritt 10.2.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{t^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Schritt 10.2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Schritt 10.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{t^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Schritt 10.2.3.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Schritt 10.2.4

Kombiniere $e^{t}$ und $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Schritt 10.2.5

Um $(4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.2.6

Kombiniere $(4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{(4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t}) \cdot 2}{2} - \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- t^{\frac{1}{2}} + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t}) \cdot 2}{2} - \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.2.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $(4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$ .

$\frac{- t^{\frac{1}{2}} + 2 (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})}{2} - \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$