Analysis Beispiele

$p (t) = \frac{8 t}{{(t + 5)}^{2}}$

Schritt 1

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8 t}{{(t + 5)}^{2}}$ nach $t$ gleich $8 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = {(t + 5)}^{2}$ .

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{2}]}{{({(t + 5)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(t + 5)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{2}]}{{(t + 5)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{2}]}{{(t + 5)}^{4}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{2}]}{{(t + 5)}^{4}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere ${(t + 5)}^{2}$ mit $1$ .

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{2}]}{{(t + 5)}^{4}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = t + 5$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t + 5$ .

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} - t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t + 5])}{{(t + 5)}^{4}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} - t (2 u \frac{d}{d t} [t + 5])}{{(t + 5)}^{4}}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $t + 5$ .

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} - t (2 (t + 5) \frac{d}{d t} [t + 5])}{{(t + 5)}^{4}}$

Schritt 5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} - 2 t ((t + 5) \frac{d}{d t} [t + 5])}{{(t + 5)}^{4}}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $t + 5$ aus ${(t + 5)}^{2} - 2 t ((t + 5) \frac{d}{d t} [t + 5])$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $t + 5$ aus ${(t + 5)}^{2}$ heraus.

$8 \frac{(t + 5) (t + 5) - 2 t ((t + 5) \frac{d}{d t} [t + 5])}{{(t + 5)}^{4}}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $t + 5$ aus $- 2 t ((t + 5) \frac{d}{d t} [t + 5])$ heraus.

$8 \frac{(t + 5) (t + 5) + (t + 5) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t + 5]))}{{(t + 5)}^{4}}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $t + 5$ aus $(t + 5) (t + 5) + (t + 5) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t + 5]))$ heraus.

$8 \frac{(t + 5) (t + 5 - 2 t (\frac{d}{d t} [t + 5]))}{{(t + 5)}^{4}}$

Schritt 6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $t + 5$ aus ${(t + 5)}^{4}$ heraus.

$8 \frac{(t + 5) (t + 5 - 2 t (\frac{d}{d t} [t + 5]))}{(t + 5) {(t + 5)}^{3}}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \frac{(t + 5) (t + 5 - 2 t (\frac{d}{d t} [t + 5]))}{(t + 5) {(t + 5)}^{3}}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$8 \frac{t + 5 - 2 t (\frac{d}{d t} [t + 5])}{{(t + 5)}^{3}}$

Schritt 7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 5$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$8 \frac{t + 5 - 2 t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5])}{{(t + 5)}^{3}}$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 \frac{t + 5 - 2 t (1 + \frac{d}{d t} [5])}{{(t + 5)}^{3}}$

Schritt 9

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$8 \frac{t + 5 - 2 t (1 + 0)}{{(t + 5)}^{3}}$

Schritt 10

Vereinfache Terme.

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Schritt 10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$8 \frac{t + 5 - 2 t \cdot 1}{{(t + 5)}^{3}}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$8 \frac{t + 5 - 2 t}{{(t + 5)}^{3}}$

Schritt 10.3

Subtrahiere $2 t$ von $t$ .

$8 \frac{- t + 5}{{(t + 5)}^{3}}$

Schritt 10.4

Kombiniere $8$ und $\frac{- t + 5}{{(t + 5)}^{3}}$ .

$\frac{8 (- t + 5)}{{(t + 5)}^{3}}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 (- t) + 8 \cdot 5}{{(t + 5)}^{3}}$

Schritt 11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{- 8 t + 8 \cdot 5}{{(t + 5)}^{3}}$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$\frac{- 8 t + 40}{{(t + 5)}^{3}}$

Schritt 11.3

Faktorisiere $8$ aus $- 8 t + 40$ heraus.

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Schritt 11.3.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8 t$ heraus.

$\frac{8 (- t) + 40}{{(t + 5)}^{3}}$

Schritt 11.3.2

Faktorisiere $8$ aus $40$ heraus.

$\frac{8 (- t) + 8 (5)}{{(t + 5)}^{3}}$

Schritt 11.3.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (- t) + 8 (5)$ heraus.

$\frac{8 (- t + 5)}{{(t + 5)}^{3}}$

Schritt 11.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- t$ heraus.

$\frac{8 (- (t) + 5)}{{(t + 5)}^{3}}$

Schritt 11.5

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$\frac{8 (- (t) - 1 (- 5))}{{(t + 5)}^{3}}$

Schritt 11.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (t) - 1 (- 5)$ heraus.

$\frac{8 (- (t - 5))}{{(t + 5)}^{3}}$

Schritt 11.7

Schreibe $- (t - 5)$ als $- 1 (t - 5)$ um.

$\frac{8 (- 1 (t - 5))}{{(t + 5)}^{3}}$

Schritt 11.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8 (t - 5)}{{(t + 5)}^{3}}$