Analysis Beispiele

$\ln (t \cdot 5^{t})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \ln (t)$ und $g (t) = t \cdot 5^{t}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t \cdot 5^{t}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t \cdot 5^{t}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t \cdot 5^{t}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $t \cdot 5^{t}$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} \frac{d}{d t} [t \cdot 5^{t}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = 5^{t}$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t \frac{d}{d t} [5^{t}] + 5^{t} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ gleich $a^{t} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $5$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5)) + 5^{t} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5)) + 5^{t} \cdot 1)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $5^{t}$ mit $1$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5)) + 5^{t})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5))) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $t$ und $\frac{1}{t \cdot 5^{t}}$ .

$\frac{t}{t \cdot 5^{t}} (5^{t} \ln (5)) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $5^{t}$ und $\frac{t}{t \cdot 5^{t}}$ .

$\frac{5^{t} t}{t \cdot 5^{t}} \ln (5) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $\frac{5^{t} t}{t \cdot 5^{t}}$ und $\ln (5)$ .

$\frac{5^{t} t \ln (5)}{t \cdot 5^{t}} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5^{t}$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5^{t} t \ln (5)}{t \cdot 5^{t}} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Schritt 5.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t \ln (5)}{t} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t \ln (5)}{t} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Schritt 5.2.5.2

Dividiere $\ln (5)$ durch $1$ .

$\ln (5) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Schritt 5.2.6

Kombiniere $\frac{1}{t \cdot 5^{t}}$ und $5^{t}$ .

$\ln (5) + \frac{5^{t}}{t \cdot 5^{t}}$

Schritt 5.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5^{t}$ .

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Schritt 5.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (5) + \frac{5^{t}}{t \cdot 5^{t}}$

Schritt 5.2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (5) + \frac{1}{t}$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{t} + \ln (5)$