Analysis Beispiele

$\ln (\sin (t^{2}))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \ln (t)$ und $g (t) = \sin (t^{2})$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (t^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (t^{2})$ .

$\frac{1}{\sin (t^{2})} \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

Schritt 2

Wandle von $\frac{1}{\sin (t^{2})}$ nach $\csc (t^{2})$ um.

$\csc (t^{2}) \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \sin (t)$ und $g (t) = t^{2}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $t^{2}$ .

$\csc (t^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$\csc (t^{2}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $t^{2}$ .

$\csc (t^{2}) (\cos (t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\csc (t^{2}) \cos (t^{2}) (2 t)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren von $\csc (t^{2}) \cos (t^{2}) (2 t)$ um.

$2 t \cos (t^{2}) \csc (t^{2})$

Schritt 5.2

Schreibe $\csc (t^{2})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$2 t \cos (t^{2}) \frac{1}{\sin (t^{2})}$

Schritt 5.3

Multipliziere $2 t \cos (t^{2}) \frac{1}{\sin (t^{2})}$ .

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Schritt 5.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\sin (t^{2})}$ .

$t \cos (t^{2}) \frac{2}{\sin (t^{2})}$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $\frac{2}{\sin (t^{2})}$ und $t$ .

$\frac{2 t}{\sin (t^{2})} \cos (t^{2})$

Schritt 5.3.3

Kombiniere $\frac{2 t}{\sin (t^{2})}$ und $\cos (t^{2})$ .

$\frac{2 t \cos (t^{2})}{\sin (t^{2})}$

Schritt 5.4

Separiere Brüche.

$\frac{2 t}{1} \cdot \frac{\cos (t^{2})}{\sin (t^{2})}$

Schritt 5.5

Wandle von $\frac{\cos (t^{2})}{\sin (t^{2})}$ nach $\cot (t^{2})$ um.

$\frac{2 t}{1} \cot (t^{2})$

Schritt 5.6

Dividiere $2 t$ durch $1$ .

$2 t \cot (t^{2})$