Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{2} - 12 x - 8$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 12 x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$6 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x - 12 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $6 x - 12$ und $0$ .

$f' (x) = 6 x - 12$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x - 12$ .

$6 x - 12$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x - 12 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$6 x - 12 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = 12$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 12$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 12$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{12}{6}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $12$ durch $6$ .

$x = 2$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $2$ .

$2$

Schritt 4

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = 6 x - 12$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = 3 x^{2} - 12 x - 8$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ .

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = 6 (1) - 12$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f' (1) = 6 - 12$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $12$ von $6$ .

$f' (1) = - 6$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 6$ .

$- 6$

Schritt 5.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $- 6$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 2)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 2)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = 6 (3) - 12$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$f' (3) = 18 - 12$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $12$ von $18$ .

$f' (3) = 6$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $6$ .

$6$

Schritt 6.3

Bei $x = 3$ ist die Ableitung $6$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(2, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(2, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(2, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 2)$

Schritt 8