Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{6} \cdot {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{3}$

Schritt 1

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{6} \cdot {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{3}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{3}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{3}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{3}$ und $g (t) = 1 + \cos^{2} (7 t)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $1 + \cos^{2} (7 t)$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{6} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + \cos^{2} (7 t)$ .

$\frac{1}{6} (3 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{6} ({(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)])$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere ${(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}$ und $\frac{3}{6}$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} \cdot 3}{6} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Schritt 3.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{6} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 3.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}$ heraus.

$\frac{3 ({(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2})}{6} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Schritt 3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Schritt 3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Schritt 3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \cos^{2} (7 t)$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos^{2} (7 t)]$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos^{2} (7 t)])$

Schritt 3.4

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (0 + \frac{d}{d t} [\cos^{2} (7 t)])$

Schritt 3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [\cos^{2} (7 t)]$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} \frac{d}{d t} [\cos^{2} (7 t)]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = \cos (7 t)$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\cos (7 t)$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cos (7 t)])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [\cos (7 t)])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (7 t)$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (2 \cos (7 t) \frac{d}{d t} [\cos (7 t)])$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2}$ .

$\frac{2 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (\cos (7 t) \frac{d}{d t} [\cos (7 t)])$

Schritt 5.2

Kombiniere $\cos (7 t)$ und $\frac{2 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (7 t) (2 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2})}{2} \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Schritt 5.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (7 t)$ .

$\frac{2 \cdot \cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Schritt 5.4.2

Dividiere $\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}$ durch $1$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \cos (t)$ und $g (t) = 7 t$ .

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Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $7 t$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d t} [7 t])$

Schritt 6.2

Die Ableitung von $\cos (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $- \sin (u_{3})$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d t} [7 t])$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $7 t$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- \sin (7 t) \frac{d}{d t} [7 t])$

Schritt 7

Differenziere.

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Schritt 7.1

Da $7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $7 t$ nach $t$ gleich $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- \sin (7 t) (7 \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- 7 \sin (7 t) \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 7.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- 7 \sin (7 t) \cdot 1)$

Schritt 7.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- 7 \sin (7 t))$

Schritt 7.4.2

Stelle die Faktoren von $\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- 7 \sin (7 t))$ um.

$- 7 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} \cos (7 t) \sin (7 t)$