Analysis Beispiele

$y (t) = \frac{c}{b - a} \cdot (e^{- a t} - e^{- b t})$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Da $\frac{c}{b - a}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{c}{b - a} (e^{- a t} - e^{- b t})$ nach $t$ gleich $\frac{c}{b - a} \frac{d}{d t} [e^{- a t} - e^{- b t}]$ .

$\frac{c}{b - a} \frac{d}{d t} [e^{- a t} - e^{- b t}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{- a t} - e^{- b t}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [e^{- a t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}]$ .

$\frac{c}{b - a} (\frac{d}{d t} [e^{- a t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = - a t$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- a t$ .

$\frac{c}{b - a} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- a t$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $- a$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- a t$ nach $t$ gleich $- a \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- e^{- b t}$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [e^{- b t}]$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - \frac{d}{d t} [e^{- b t}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = - b t$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- b t$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- b t]))$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- b t]))$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- b t$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (e^{- b t} \frac{d}{d t} [- b t]))$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $- b$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- b t$ nach $t$ gleich $- b \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - e^{- b t} (- b \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 5.2

Multipliziere.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + 1 e^{- b t} (b \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $e^{- b t}$ mit $1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} (b \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} (b \cdot 1))$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $b$ mit $1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Stelle die Faktoren von $\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b)$ um.

$(e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b) \frac{c}{b - a}$

Schritt 6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(- e^{- a t} a + e^{- b t} b) \frac{c}{b - a}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- e^{- a t} a + e^{- b t} b$ mit $\frac{c}{b - a}$ .

$\frac{(- e^{- a t} a + e^{- b t} b) c}{b - a}$

Schritt 6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{- a t} a$ heraus.

$\frac{(- (e^{- a t} a) + e^{- b t} b) c}{b - a}$

Schritt 6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $e^{- b t} b$ heraus.

$\frac{(- (e^{- a t} a) - (- e^{- b t} b)) c}{b - a}$

Schritt 6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (e^{- a t} a) - (- e^{- b t} b)$ heraus.

$\frac{- (e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

Schritt 6.7

Schreibe $- (e^{- a t} a - e^{- b t} b)$ als $- 1 (e^{- a t} a - e^{- b t} b)$ um.

$\frac{- 1 (e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

Schritt 6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

Schritt 6.9

Stelle die Faktoren in $- \frac{(e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$ um.

$- \frac{c (a e^{- a t} - b e^{- b t})}{b - a}$