Analysis Beispiele

$y (t) = (\frac{9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}}{3 t^{3}})$

Schritt 1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}}{3 t^{3}}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}}{t^{3}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}}{t^{3}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = 9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}$ und $g (t) = t^{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} \frac{d}{d t} [9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}] - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{{(t^{3})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{3})}^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} \frac{d}{d t} [9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}] - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{3 \cdot 2}}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} \frac{d}{d t} [9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}] - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [9 t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 3.9 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (\frac{d}{d t} [9 t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 3.9 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Schritt 3.3

Da $9$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $9 t^{5}$ nach $t$ gleich $9 \frac{d}{d t} [t^{5}]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (9 \frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 3.9 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (9 (5 t^{4}) + \frac{d}{d t} [- 3.9 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $5$ mit $9$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (45 t^{4} + \frac{d}{d t} [- 3.9 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Schritt 3.6

Da $- 3.9$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 3.9 t^{4}$ nach $t$ gleich $- 3.9 \frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (45 t^{4} - 3.9 \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (45 t^{4} - 3.9 (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [- t^{3}]) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $4$ mit $- 3.9$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (45 t^{4} - 15.6 t^{3} + \frac{d}{d t} [- t^{3}]) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Schritt 3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t^{3}$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - \frac{d}{d t} [t^{3}]) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Schritt 3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - (3 t^{2})) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Schritt 3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) - (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) (3 t^{2})}{t^{6}}$

Schritt 3.13

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.13.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3} (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) - 3 (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) t^{2}}{t^{6}}$

Schritt 3.13.2

Faktorisiere $t^{2}$ aus $t^{3} (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) - 3 (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) t^{2}$ heraus.

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Schritt 3.13.2.1

Faktorisiere $t^{2}$ aus $t^{3} (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2})$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{2} (t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2})) - 3 (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) t^{2}}{t^{6}}$

Schritt 3.13.2.2

Faktorisiere $t^{2}$ aus $- 3 (9 t^{5} - 3.9 t^{4} - t^{3}) t^{2}$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{2} (t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2})) + t^{2} (- 3 (9 t^{3} - 3.9 t^{2} - t) t^{2})}{t^{6}}$

Schritt 3.13.2.3

Faktorisiere $t^{2}$ aus $t^{2} (t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2})) + t^{2} (- 3 (9 t^{3} - 3.9 t^{2} - t) t^{2})$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{2} (t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) - 3 (9 t^{3} - 3.9 t^{2} - t) t^{2})}{t^{6}}$

Schritt 4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $t^{2}$ aus $t^{6}$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{2} (t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) - 3 (9 t^{3} - 3.9 t^{2} - t) t^{2})}{t^{2} t^{4}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{2} (t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) - 3 (9 t^{3} - 3.9 t^{2} - t) t^{2})}{t^{2} t^{4}}$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) - 3 (9 t^{3} - 3.9 t^{2} - t) t^{2}}{t^{4}}$

Schritt 5

Faktorisiere $t$ aus $t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) - 3 (9 t^{3} - 3.9 t^{2} - t) t^{2}$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $t$ aus $- 3 (9 t^{3} - 3.9 t^{2} - t) t^{2}$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) + t (- 3 (9 t^{2} - 3.9 t - 1) t^{2})}{t^{4}}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $t$ aus $t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2}) + t (- 3 (9 t^{2} - 3.9 t - 1) t^{2})$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 t^{2} - 3.9 t - 1) t^{2})}{t^{4}}$

Schritt 6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{4}$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 t^{2} - 3.9 t - 1) t^{2})}{t \cdot t^{3}}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 t^{2} - 3.9 t - 1) t^{2})}{t \cdot t^{3}}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 t^{2} - 3.9 t - 1) t^{2}}{t^{3}}$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 t^{2} - 3.9 t - 1) t^{2}}{t^{3}}$ .

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 t^{2} - 3.9 t - 1) t^{2}}{3 t^{3}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} + (- 3 (9 t^{2}) - 3 (- 3.9 t) - 3 \cdot - 1) t^{2}}{3 t^{3}}$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 t^{2}) t^{2} - 3 (- 3.9 t) t^{2} - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Multipliziere $t^{2}$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.3.1.1.1

Bewege $t^{2}$ .

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 (t^{2} t^{2})) - 3 (- 3.9 t) t^{2} - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 t^{2 + 2}) - 3 (- 3.9 t) t^{2} - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

Schritt 8.3.1.1.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 3 (9 t^{4}) - 3 (- 3.9 t) t^{2} - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

Schritt 8.3.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 3$ .

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 27 t^{4} - 3 (- 3.9 t) t^{2} - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

Schritt 8.3.1.3

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.3.1.3.1

Bewege $t^{2}$ .

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 27 t^{4} - 3 (- 3.9 (t^{2} t)) - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

Schritt 8.3.1.3.2

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

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Schritt 8.3.1.3.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 27 t^{4} - 3 (- 3.9 (t^{2} t^{1})) - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

Schritt 8.3.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 27 t^{4} - 3 (- 3.9 t^{2 + 1}) - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

Schritt 8.3.1.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 27 t^{4} - 3 (- 3.9 t^{3}) - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

Schritt 8.3.1.4

Mutltipliziere $- 3.9$ mit $- 3$ .

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 27 t^{4} + 11.7 t^{3} - 3 \cdot - 1 t^{2}}{3 t^{3}}$

Schritt 8.3.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 27 t^{4} + 11.7 t^{3} + 3 t^{2}}{3 t^{3}}$

Schritt 8.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 3 t^{2} - 27 t^{4} + 11.7 t^{3} + 3 t^{2}$ .

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Schritt 8.3.2.1

Addiere $- 3 t^{2}$ und $3 t^{2}$ .

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 27 t^{4} + 11.7 t^{3} + 0}{3 t^{3}}$

Schritt 8.3.2.2

Addiere $45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 27 t^{4} + 11.7 t^{3}$ und $0$ .

$\frac{45 t^{4} - 15.6 t^{3} - 27 t^{4} + 11.7 t^{3}}{3 t^{3}}$

Schritt 8.3.3

Subtrahiere $27 t^{4}$ von $45 t^{4}$ .

$\frac{18 t^{4} - 15.6 t^{3} + 11.7 t^{3}}{3 t^{3}}$

Schritt 8.3.4

Addiere $- 15.6 t^{3}$ und $11.7 t^{3}$ .

$\frac{18 t^{4} - 3.9 t^{3}}{3 t^{3}}$

Schritt 8.4

Faktorisiere $0.3 t^{3}$ aus $18 t^{4} - 3.9 t^{3}$ heraus.

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Schritt 8.4.1

Faktorisiere $0.3 t^{3}$ aus $18 t^{4}$ heraus.

$\frac{0.3 t^{3} (60 t) - 3.9 t^{3}}{3 t^{3}}$

Schritt 8.4.2

Faktorisiere $0.3 t^{3}$ aus $- 3.9 t^{3}$ heraus.

$\frac{0.3 t^{3} (60 t) + 0.3 t^{3} (- 13)}{3 t^{3}}$

Schritt 8.4.3

Faktorisiere $0.3 t^{3}$ aus $0.3 t^{3} (60 t) + 0.3 t^{3} (- 13)$ heraus.

$\frac{0.3 t^{3} (60 t - 13)}{3 t^{3}}$

Schritt 8.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t^{3}$ .

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Schritt 8.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.3 t^{3} (60 t - 13)}{3 t^{3}}$

Schritt 8.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0.3 (60 t - 13)}{3}$

Schritt 8.6

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{0.3 (60 t - 13)}{3 (1)}$

Schritt 8.7

Separiere Brüche.

$\frac{0.3}{3} \cdot \frac{60 t - 13}{1}$

Schritt 8.8

Dividiere $0.3$ durch $3$ .

$0.1 \frac{60 t - 13}{1}$

Schritt 8.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.1$ .

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Schritt 8.9.1

Faktorisiere $0.1$ aus $1$ heraus.

$0.1 \frac{60 t - 13}{0.1 \cdot 10}$

Schritt 8.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0.1 \frac{60 t - 13}{0.1 \cdot 10}$

Schritt 8.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{60 t - 13}{10}$