Analysis Beispiele

$y = {(5 t^{2} - 4 t)}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = 5 t^{2} - 4 t$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 t^{2} - 4 t$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $5 t^{2} - 4 t$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 t^{2} - 4 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Schritt 2.2

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5 t^{2}$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Schritt 2.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 4 t$ nach $t$ gleich $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4 \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4 \cdot 1)$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)) (10 t - 4)$

Schritt 3.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$(10 t^{2} + 2 (- 4 t)) (10 t - 4)$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$(10 t^{2} - 8 t) (10 t - 4)$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von $(10 t^{2} - 8 t) (10 t - 4)$ um.

$(10 t - 4) (10 t^{2} - 8 t)$

Schritt 3.4

Multipliziere $(10 t - 4) (10 t^{2} - 8 t)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 t (10 t^{2} - 8 t) - 4 (10 t^{2} - 8 t)$

Schritt 3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$10 t (10 t^{2}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2} - 8 t)$

Schritt 3.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$10 t (10 t^{2}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Schritt 3.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$10 \cdot 10 t \cdot t^{2} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Schritt 3.5.1.2

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.1.2.1

Bewege $t^{2}$ .

$10 \cdot 10 (t^{2} t) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Schritt 3.5.1.2.2

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

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Schritt 3.5.1.2.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$10 \cdot 10 (t^{2} t^{1}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Schritt 3.5.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 \cdot 10 t^{2 + 1} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Schritt 3.5.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$10 \cdot 10 t^{3} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Schritt 3.5.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $10$ .

$100 t^{3} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Schritt 3.5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 t \cdot t - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Schritt 3.5.1.5

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.1.5.1

Bewege $t$ .

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 (t \cdot t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Schritt 3.5.1.5.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 t^{2} - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Schritt 3.5.1.6

Mutltipliziere $10$ mit $- 8$ .

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Schritt 3.5.1.7

Mutltipliziere $10$ mit $- 4$ .

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 40 t^{2} - 4 (- 8 t)$

Schritt 3.5.1.8

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 4$ .

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 40 t^{2} + 32 t$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $40 t^{2}$ von $- 80 t^{2}$ .

$100 t^{3} - 120 t^{2} + 32 t$