Analysis Beispiele

$y = arcsec (\frac{1}{9 t^{4}})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = arcsec (t)$ und $g (t) = \frac{1}{9 t^{4}}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{9 t^{4}}$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $arcsec (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{9 t^{4}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{9 t^{4}} \sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Schritt 2

Kombiniere $\frac{1}{9 t^{4}}$ und $\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}{9 t^{4}}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}{9 t^{4}}$ zu dividieren.

$1 \frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ mit $1$ .

$\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Schritt 5

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{9 t^{4}}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{9} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$ .

$\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} (\frac{1}{9} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}])$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ .

$\frac{9 t^{4}}{9 \sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 t^{4}}{9 \sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$

Schritt 6.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.3.1

Schreibe $\frac{1}{t^{4}}$ als ${(t^{4})}^{- 1}$ um.

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [{(t^{4})}^{- 1}]$

Schritt 6.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [t^{4 \cdot - 1}]$

Schritt 6.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [t^{- 4}]$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} (- 4 t^{- 5})$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ .

$\frac{- 4 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} t^{- 5}$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{- 4 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ und $t^{- 5}$ .

$\frac{- 4 t^{4} t^{- 5}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

Schritt 9

Multipliziere $t^{4}$ mit $t^{- 5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.1

Bewege $t^{- 5}$ .

$\frac{- 4 (t^{- 5} t^{4})}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

Schritt 9.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 4 t^{- 5 + 4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

Schritt 9.3

Addiere $- 5$ und $4$ .

$\frac{- 4 t^{- 1}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

Schritt 10

Bringe $t^{- 1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1} t}$

Schritt 11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1} t}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{9 t^{4}}$ an.

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1^{2}}{{(9 t^{4})}^{2}} - 1} t}$

Schritt 12.2

Wende die Produktregel auf $9 t^{4}$ an.

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1^{2}}{9^{2} {(t^{4})}^{2}} - 1} t}$

Schritt 12.3

Vereine die Terme

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Schritt 12.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{9^{2} {(t^{4})}^{2}} - 1} t}$

Schritt 12.3.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{81 {(t^{4})}^{2}} - 1} t}$

Schritt 12.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{4})}^{2}$ .

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Schritt 12.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{81 t^{4 \cdot 2}} - 1} t}$

Schritt 12.3.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{81 t^{8}} - 1} t}$