Analysis Beispiele

$y = \frac{\cos (t^{4})}{\tan (4 t)}$

Schritt 1

Schreibe $\tan (4 t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{d}{d t} [\frac{\cos (t^{4})}{\frac{\sin (4 t)}{\cos (4 t)}}]$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (4 t)}{\cos (4 t)}$ zu dividieren.

$\frac{d}{d t} [\frac{\cos (t^{4}) \cos (4 t)}{\sin (4 t)}]$

Schritt 3

Wandle von $\frac{\cos (t^{4}) \cos (4 t)}{\sin (4 t)}$ nach $\cos (t^{4}) \cot (4 t)$ um.

$\frac{d}{d t} [\cos (t^{4}) \cot (4 t)]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = \cos (t^{4})$ und $g (t) = \cot (4 t)$ .

$\cos (t^{4}) \frac{d}{d t} [\cot (4 t)] + \cot (4 t) \frac{d}{d t} [\cos (t^{4})]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \cot (t)$ und $g (t) = 4 t$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 t$ .

$\cos (t^{4}) (\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d t} [4 t]) + \cot (4 t) \frac{d}{d t} [\cos (t^{4})]$

Schritt 5.2

Die Ableitung von $\cot (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$\cos (t^{4}) (- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d t} [4 t]) + \cot (4 t) \frac{d}{d t} [\cos (t^{4})]$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 t$ .

$\cos (t^{4}) (- \csc^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [4 t]) + \cot (4 t) \frac{d}{d t} [\cos (t^{4})]$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4 t$ nach $t$ gleich $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\cos (t^{4}) (- \csc^{2} (4 t) (4 \frac{d}{d t} [t])) + \cot (4 t) \frac{d}{d t} [\cos (t^{4})]$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\cos (t^{4}) (- 4 \csc^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]) + \cot (4 t) \frac{d}{d t} [\cos (t^{4})]$

Schritt 6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (t^{4}) (- 4 \csc^{2} (4 t) \cdot 1) + \cot (4 t) \frac{d}{d t} [\cos (t^{4})]$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\cos (t^{4}) (- 4 \csc^{2} (4 t)) + \cot (4 t) \frac{d}{d t} [\cos (t^{4})]$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \cos (t)$ und $g (t) = t^{4}$ .

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Schritt 7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $t^{4}$ .

$\cos (t^{4}) (- 4 \csc^{2} (4 t)) + \cot (4 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Schritt 7.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$\cos (t^{4}) (- 4 \csc^{2} (4 t)) + \cot (4 t) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Schritt 7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $t^{4}$ .

$\cos (t^{4}) (- 4 \csc^{2} (4 t)) + \cot (4 t) (- \sin (t^{4}) \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 8.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\cos (t^{4}) (- 4 \csc^{2} (4 t)) + \cot (4 t) (- \sin (t^{4}) (4 t^{3}))$

Schritt 8.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\cos (t^{4}) (- 4 \csc^{2} (4 t)) + \cot (4 t) (- 4 \sin (t^{4}) t^{3})$

Schritt 8.2.2

Stelle die Terme um.

$- 4 \csc^{2} (4 t) \cos (t^{4}) - 4 t^{3} \cot (4 t) \sin (t^{4})$