Analysis Beispiele

$e^{4 x} + e^{- x}$

Schritt 1

Schreibe $e^{4 x} + e^{- x}$ als Funktion.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{4 x} + e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 2.1.1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.1.1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.1.1.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.1.1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.1.1.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.1.1.2.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.1.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.1.1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.1.1.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.1.1.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 2.1.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Schritt 2.1.1.3.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Schritt 2.1.1.3.6

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 e^{4 x} - e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Schritt 2.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}]$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 e^{4 x}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Schritt 2.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 2.1.2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 x$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Schritt 2.1.2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Schritt 2.1.2.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x$ .

$4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Schritt 2.1.2.2.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Schritt 2.1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Schritt 2.1.2.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Schritt 2.1.2.2.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{4 x}$ .

$4 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Schritt 2.1.2.2.7

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$16 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Schritt 2.1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Schritt 2.1.2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{- x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$16 e^{4 x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.1.2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- x$ .

$16 e^{4 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.1.2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$16 e^{4 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.1.2.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.1.2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.1.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Schritt 2.1.2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Schritt 2.1.2.3.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$16 e^{4 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Schritt 2.1.2.3.7

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$16 e^{4 x} - - e^{- x}$

Schritt 2.1.2.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$16 e^{4 x} + 1 e^{- x}$

Schritt 2.1.2.3.9

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $16 e^{4 x} + e^{- x}$ .

$16 e^{4 x} + e^{- x}$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $16 e^{4 x} + e^{- x} = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$16 e^{4 x} + e^{- x} = 0$

Schritt 2.2.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

Keine Lösung

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Der Graph ist konvex, da die zweite Ableitung positiv ist.

Der Graph ist konvex

Schritt 5