Analysis Beispiele

$\frac{u - 1}{u + 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ gleich $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ ist mit $f (u) = u - 1$ und $g (u) = u + 1$ .

$\frac{(u + 1) \frac{d}{d u} [u - 1] - (u - 1) \frac{d}{d u} [u + 1]}{{(u + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u - 1$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 1]$ .

$\frac{(u + 1) (\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 1]) - (u - 1) \frac{d}{d u} [u + 1]}{{(u + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(u + 1) (1 + \frac{d}{d u} [- 1]) - (u - 1) \frac{d}{d u} [u + 1]}{{(u + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$\frac{(u + 1) (1 + 0) - (u - 1) \frac{d}{d u} [u + 1]}{{(u + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(u + 1) \cdot 1 - (u - 1) \frac{d}{d u} [u + 1]}{{(u + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $u + 1$ mit $1$ .

$\frac{u + 1 - (u - 1) \frac{d}{d u} [u + 1]}{{(u + 1)}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u + 1$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{u + 1 - (u - 1) (\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1])}{{(u + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{u + 1 - (u - 1) (1 + \frac{d}{d u} [1])}{{(u + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $1$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$\frac{u + 1 - (u - 1) (1 + 0)}{{(u + 1)}^{2}}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{u + 1 - (u - 1) \cdot 1}{{(u + 1)}^{2}}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{u + 1 - (u - 1)}{{(u + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{u + 1 - u - - 1}{{(u + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $u + 1 - u - - 1$ .

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Schritt 3.2.1.1

Subtrahiere $u$ von $u$ .

$\frac{0 + 1 - - 1}{{(u + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1 - - 1}{{(u + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{{(u + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{{(u + 1)}^{2}}$