Analysis Beispiele

$y = \ln (3 t e^{- t})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \ln (t)$ und $g (t) = 3 t e^{- t}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 t e^{- t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 t e^{- t}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [3 t e^{- t}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 t e^{- t}$ .

$\frac{1}{3 t e^{- t}} \frac{d}{d t} [3 t e^{- t}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t e^{- t}$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$ .

$\frac{1}{3 t e^{- t}} (3 \frac{d}{d t} [t e^{- t}])$

Schritt 2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3 t e^{- t}}$ .

$\frac{3}{3 t e^{- t}} \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{3 t e^{- t}} \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

Schritt 2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{t e^{- t}} \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = e^{- t}$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t \frac{d}{d t} [e^{- t}] + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = - t$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- t$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- t$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} (- 1 \cdot 1)) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} \cdot - 1) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 5.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- t}$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- 1 \cdot e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 5.3.3

Schreibe $- 1 e^{- t}$ als $- e^{- t}$ um.

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t}) + e^{- t} \cdot 1)$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $e^{- t}$ mit $1$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t}) + e^{- t})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t})) + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Schritt 6.2

Vereine die Terme

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $t$ und $\frac{1}{t e^{- t}}$ .

$\frac{t}{t e^{- t}} (- e^{- t}) + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $\frac{t}{t e^{- t}}$ und $e^{- t}$ .

$- \frac{t e^{- t}}{t e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{t e^{- t}}{t e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Schritt 6.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Schritt 6.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- t}$ .

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Schritt 6.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Schritt 6.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1 + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Schritt 6.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Schritt 6.2.6

Kombiniere $\frac{1}{t e^{- t}}$ und $e^{- t}$ .

$- 1 + \frac{e^{- t}}{t e^{- t}}$

Schritt 6.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- t}$ .

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Schritt 6.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 + \frac{e^{- t}}{t e^{- t}}$

Schritt 6.2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 + \frac{1}{t}$

Schritt 6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{t} - 1$