Analysis Beispiele

$y = \ln (| 2 + t - t^{3} |)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \ln (t)$ und $g (t) = | 2 + t - t^{3} |$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $| 2 + t - t^{3} |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [| 2 + t - t^{3} |]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [| 2 + t - t^{3} |]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $| 2 + t - t^{3} |$ .

$\frac{1}{| 2 + t - t^{3} |} \frac{d}{d t} [| 2 + t - t^{3} |]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = | t |$ und $g (t) = 2 + t - t^{3}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 + t - t^{3}$ .

$\frac{1}{| 2 + t - t^{3} |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $| u_{2} |$ nach $u_{2}$ ist $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| 2 + t - t^{3} |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 + t - t^{3}$ .

$\frac{1}{| 2 + t - t^{3} |} (\frac{2 + t - t^{3}}{| 2 + t - t^{3} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}])$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{2 + t - t^{3}}{| 2 + t - t^{3} |}$ mit $\frac{1}{| 2 + t - t^{3} |}$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| 2 + t - t^{3} | | 2 + t - t^{3} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

Schritt 4

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\frac{2 + t - t^{3}}{| (2 + t - t^{3}) (2 + t - t^{3}) |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

Schritt 5

Potenziere $2 + t - t^{3}$ mit $1$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{1} (2 + t - t^{3}) |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

Schritt 6

Potenziere $2 + t - t^{3}$ mit $1$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{1} {(2 + t - t^{3})}^{1} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{1 + 1} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

Schritt 8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + t - t^{3}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}])$

Schritt 10

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (0 + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}])$

Schritt 11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}])$

Schritt 12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (1 + \frac{d}{d t} [- t^{3}])$

Schritt 13

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t^{3}$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - \frac{d}{d t} [t^{3}])$

Schritt 14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - (3 t^{2}))$

Schritt 15

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - 3 t^{2})$

Schritt 15.2

Stelle die Faktoren von $\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - 3 t^{2})$ um.

$(1 - 3 t^{2}) \frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |}$