Analysis Beispiele

${(1 - u^{2})}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ ist $f' (g (u)) g' (u)$ , mit $f (u) = u^{2}$ und $g (u) = 1 - u^{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $1 - u^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d u} [1 - u^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d u} [1 - u^{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 - u^{2}$ .

$2 (1 - u^{2}) \frac{d}{d u} [1 - u^{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - u^{2}$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- u^{2}]$ .

$2 (1 - u^{2}) (\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- u^{2}])$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$2 (1 - u^{2}) (0 + \frac{d}{d u} [- u^{2}])$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d u} [- u^{2}]$ .

$2 (1 - u^{2}) \frac{d}{d u} [- u^{2}]$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $- u^{2}$ nach $u$ gleich $- \frac{d}{d u} [u^{2}]$ .

$2 (1 - u^{2}) (- \frac{d}{d u} [u^{2}])$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 (1 - u^{2}) \frac{d}{d u} [u^{2}]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 (1 - u^{2}) (2 u)$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 4 (1 - u^{2}) u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(- 4 \cdot 1 - 4 (- u^{2})) u$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 \cdot 1 u - 4 (- u^{2}) u$

Schritt 3.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 4 u - 4 (- u^{2}) u$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$- 4 u + 4 u^{2} u$

Schritt 3.3.3

Potenziere $u$ mit $1$ .

$- 4 u + 4 (u^{1} u^{2})$

Schritt 3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 4 u + 4 u^{1 + 2}$

Schritt 3.3.5

Addiere $1$ und $2$ .

$- 4 u + 4 u^{3}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$4 u^{3} - 4 u$