Analysis Beispiele

$\frac{e^{\frac{u}{10}}}{u^{3}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ gleich $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ ist mit $f (u) = e^{\frac{u}{10}}$ und $g (u) = u^{3}$ .

$\frac{u^{3} \frac{d}{d u} [e^{\frac{u}{10}}] - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{{(u^{3})}^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{u^{3} \frac{d}{d u} [e^{\frac{u}{10}}] - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{3 \cdot 2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{u^{3} \frac{d}{d u} [e^{\frac{u}{10}}] - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ ist $f' (g (u)) g' (u)$ , mit $f (u) = e^{u}$ und $g (u) = \frac{u}{10}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{u}{10}$ .

$\frac{u^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d u} [\frac{u}{10}]) - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{u^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d u} [\frac{u}{10}]) - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{u}{10}$ .

$\frac{u^{3} (e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [\frac{u}{10}]) - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $\frac{1}{10}$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $\frac{u}{10}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{10} \frac{d}{d u} [u]$ .

$\frac{u^{3} (e^{\frac{u}{10}} (\frac{1}{10} \frac{d}{d u} [u])) - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $\frac{1}{10}$ und $e^{\frac{u}{10}}$ .

$\frac{u^{3} (\frac{e^{\frac{u}{10}}}{10} \frac{d}{d u} [u]) - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $\frac{e^{\frac{u}{10}}}{10}$ und $u^{3}$ .

$\frac{\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3}}{10} \frac{d}{d u} [u] - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3}}{10} \cdot 1 - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3}}{10}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3}}{10} - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3}}{10} - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$ mit $\frac{10}{10}$ .

$\frac{10}{10} \cdot \frac{\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3}}{10} - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}]}{u^{6}}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kombinieren.

$\frac{10 (\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3}}{10} - e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}])}{10 u^{6}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{10 \frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3}}{10} + 10 (- e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}])}{10 u^{6}}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 \frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3}}{10} + 10 (- e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}])}{10 u^{6}}$

Schritt 6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3} + 10 (- e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}])}{10 u^{6}}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3} - 10 (e^{\frac{u}{10}} \frac{d}{d u} [u^{3}])}{10 u^{6}}$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3} - 10 e^{\frac{u}{10}} (3 u^{2})}{10 u^{6}}$

Schritt 8

Mutltipliziere $3$ mit $- 10$ .

$\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3} - 30 e^{\frac{u}{10}} u^{2}}{10 u^{6}}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Stelle die Faktoren in $e^{\frac{u}{10}} u^{3} - 30 e^{\frac{u}{10}} u^{2}$ um.

$\frac{u^{3} e^{\frac{u}{10}} - 30 u^{2} e^{\frac{u}{10}}}{10 u^{6}}$

Schritt 9.2

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{\frac{u}{10}} u^{3} - 30 e^{\frac{u}{10}} u^{2}}{10 u^{6}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $u^{2}$ aus $e^{\frac{u}{10}} u^{3} - 30 e^{\frac{u}{10}} u^{2}$ heraus.

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Schritt 9.3.1.1

Faktorisiere $u^{2}$ aus $e^{\frac{u}{10}} u^{3}$ heraus.

$\frac{u^{2} (e^{\frac{u}{10}} u) - 30 e^{\frac{u}{10}} u^{2}}{10 u^{6}}$

Schritt 9.3.1.2

Faktorisiere $u^{2}$ aus $- 30 e^{\frac{u}{10}} u^{2}$ heraus.

$\frac{u^{2} (e^{\frac{u}{10}} u) + u^{2} (- 30 e^{\frac{u}{10}})}{10 u^{6}}$

Schritt 9.3.1.3

Faktorisiere $u^{2}$ aus $u^{2} (e^{\frac{u}{10}} u) + u^{2} (- 30 e^{\frac{u}{10}})$ heraus.

$\frac{u^{2} (e^{\frac{u}{10}} u - 30 e^{\frac{u}{10}})}{10 u^{6}}$

Schritt 9.3.2

Faktorisiere $e^{\frac{u}{10}}$ aus $e^{\frac{u}{10}} u - 30 e^{\frac{u}{10}}$ heraus.

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Schritt 9.3.2.1

Stelle $e^{\frac{u}{10}}$ und $u$ um.

$\frac{u^{2} (u e^{\frac{u}{10}} - 30 e^{\frac{u}{10}})}{10 u^{6}}$

Schritt 9.3.2.2

Faktorisiere $e^{\frac{u}{10}}$ aus $u e^{\frac{u}{10}}$ heraus.

$\frac{u^{2} (e^{\frac{u}{10}} u - 30 e^{\frac{u}{10}})}{10 u^{6}}$

Schritt 9.3.2.3

Faktorisiere $e^{\frac{u}{10}}$ aus $- 30 e^{\frac{u}{10}}$ heraus.

$\frac{u^{2} (e^{\frac{u}{10}} u + e^{\frac{u}{10}} \cdot - 30)}{10 u^{6}}$

Schritt 9.3.2.4

Faktorisiere $e^{\frac{u}{10}}$ aus $e^{\frac{u}{10}} u + e^{\frac{u}{10}} \cdot - 30$ heraus.

$\frac{u^{2} (e^{\frac{u}{10}} (u - 30))}{10 u^{6}}$

$\frac{u^{2} e^{\frac{u}{10}} (u - 30)}{10 u^{6}}$

Schritt 9.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $u^{2}$ und $u^{6}$ .

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Schritt 9.4.1

Faktorisiere $u^{2}$ aus $u^{2} e^{\frac{u}{10}} (u - 30)$ heraus.

$\frac{u^{2} (e^{\frac{u}{10}} (u - 30))}{10 u^{6}}$

Schritt 9.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.2.1

Faktorisiere $u^{2}$ aus $10 u^{6}$ heraus.

$\frac{u^{2} (e^{\frac{u}{10}} (u - 30))}{u^{2} (10 u^{4})}$

Schritt 9.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{u^{2} (e^{\frac{u}{10}} (u - 30))}{u^{2} (10 u^{4})}$

Schritt 9.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{\frac{u}{10}} (u - 30)}{10 u^{4}}$