Analysis Beispiele

$y = t \ln^{2} (7 t)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = \ln^{2} (7 t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (7 t)] + \ln^{2} (7 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = \ln (7 t)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\ln (7 t)$ .

$t (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (7 t)]) + \ln^{2} (7 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$t (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\ln (7 t)]) + \ln^{2} (7 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\ln (7 t)$ .

$t (2 \ln (7 t) \frac{d}{d t} [\ln (7 t)]) + \ln^{2} (7 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \ln (t)$ und $g (t) = 7 t$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $7 t$ .

$t (2 \ln (7 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [7 t])) + \ln^{2} (7 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$t (2 \ln (7 t) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [7 t])) + \ln^{2} (7 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $7 t$ .

$t (2 \ln (7 t) (\frac{1}{7 t} \frac{d}{d t} [7 t])) + \ln^{2} (7 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{7 t}$ und $2$ .

$t (\frac{2}{7 t} \ln (7 t) \frac{d}{d t} [7 t]) + \ln^{2} (7 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $\frac{2}{7 t}$ und $\ln (7 t)$ .

$t (\frac{2 \ln (7 t)}{7 t} \frac{d}{d t} [7 t]) + \ln^{2} (7 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $\frac{2 \ln (7 t)}{7 t}$ und $t$ .

$\frac{2 \ln (7 t) t}{7 t} \frac{d}{d t} [7 t] + \ln^{2} (7 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \ln (7 t) t}{7 t} \frac{d}{d t} [7 t] + \ln^{2} (7 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \ln (7 t)}{7} \frac{d}{d t} [7 t] + \ln^{2} (7 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.3

Da $7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $7 t$ nach $t$ gleich $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 \ln (7 t)}{7} (7 \frac{d}{d t} [t]) + \ln^{2} (7 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.4.1

Kombiniere $7$ und $\frac{2 \ln (7 t)}{7}$ .

$\frac{7 (2 \ln (7 t))}{7} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (7 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\frac{14 \ln (7 t)}{7} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (7 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $7$ .

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Schritt 4.4.3.1

Faktorisiere $7$ aus $14 \ln (7 t)$ heraus.

$\frac{7 (2 \ln (7 t))}{7} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (7 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.3.2.1

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$\frac{7 (2 \ln (7 t))}{7 (1)} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (7 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 (2 \ln (7 t))}{7 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (7 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \ln (7 t)}{1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (7 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.3.2.4

Dividiere $2 \ln (7 t)$ durch $1$ .

$2 \ln (7 t) \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (7 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \ln (7 t) \cdot 1 + \ln^{2} (7 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \ln (7 t) + \ln^{2} (7 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \ln (7 t) + \ln^{2} (7 t) \cdot 1$

Schritt 4.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.8.1

Mutltipliziere $\ln^{2} (7 t)$ mit $1$ .

$2 \ln (7 t) + \ln^{2} (7 t)$

Schritt 4.8.2

Stelle die Terme um.

$\ln^{2} (7 t) + 2 \ln (7 t)$