Analysis Beispiele

$\frac{u}{u^{2} + 7}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ gleich $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ ist mit $f (u) = u$ und $g (u) = u^{2} + 7$ .

$\frac{(u^{2} + 7) \frac{d}{d u} [u] - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 7]}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(u^{2} + 7) \cdot 1 - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 7]}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $u^{2} + 7$ mit $1$ .

$\frac{u^{2} + 7 - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 7]}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u^{2} + 7$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [7]$ .

$\frac{u^{2} + 7 - u (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [7])}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{u^{2} + 7 - u (2 u + \frac{d}{d u} [7])}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $7$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$\frac{u^{2} + 7 - u (2 u + 0)}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $2 u$ und $0$ .

$\frac{u^{2} + 7 - u (2 u)}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{u^{2} + 7 - 2 u \cdot u}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{u^{2} + 7 - 2 (u^{1} u)}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 4

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{u^{2} + 7 - 2 (u^{1} u^{1})}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{u^{2} + 7 - 2 u^{1 + 1}}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{u^{2} + 7 - 2 u^{2}}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 7

Subtrahiere $2 u^{2}$ von $u^{2}$ .

$\frac{- u^{2} + 7}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2}$ heraus.

$\frac{- (u^{2}) + 7}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 8.2

Schreibe $7$ als $- 1 (- 7)$ um.

$\frac{- (u^{2}) - 1 (- 7)}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (u^{2}) - 1 (- 7)$ heraus.

$\frac{- (u^{2} - 7)}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 8.4

Schreibe $- (u^{2} - 7)$ als $- 1 (u^{2} - 7)$ um.

$\frac{- 1 (u^{2} - 7)}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 8.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{u^{2} - 7}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$