Analysis Beispiele

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [f (w) g (w)]$ gleich $f (w) \frac{d}{d w} [g (w)] + g (w) \frac{d}{d w} [f (w)]$ ist mit $f (w) = 17 w^{2} + 11$ und $g (w) = e^{w^{2}}$ .

$(17 w^{2} + 11) \frac{d}{d w} [e^{w^{2}}] + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ ist $f' (g (w)) g' (w)$ , mit $f (w) = e^{w}$ und $g (w) = w^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $w^{2}$ .

$(17 w^{2} + 11) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d w} [w^{2}]) + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(17 w^{2} + 11) (e^{u} \frac{d}{d w} [w^{2}]) + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $w^{2}$ .

$(17 w^{2} + 11) (e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [w^{2}]) + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $17 w^{2} + 11$ nach $w$ $\frac{d}{d w} [17 w^{2}] + \frac{d}{d w} [11]$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (\frac{d}{d w} [17 w^{2}] + \frac{d}{d w} [11])$

Schritt 3.3

Da $17$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $17 w^{2}$ nach $w$ gleich $17 \frac{d}{d w} [w^{2}]$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (17 \frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [11])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (17 (2 w) + \frac{d}{d w} [11])$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $17$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w + \frac{d}{d w} [11])$

Schritt 3.6

Da $11$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $11$ bezüglich $w$ gleich $0$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w + 0)$

Schritt 3.7

Addiere $34 w$ und $0$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(17 w^{2} e^{w^{2}} + 11 e^{w^{2}}) (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$17 w^{2} e^{w^{2}} (2 w) + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $17$ .

$34 w^{2} e^{w^{2}} w + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Schritt 4.3.2

Potenziere $w$ mit $1$ .

$34 (w^{1} w^{2}) e^{w^{2}} + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Schritt 4.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$34 w^{1 + 2} e^{w^{2}} + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Schritt 4.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $11$ .

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 22 e^{w^{2}} w + e^{w^{2}} (34 w)$

Schritt 4.3.6

Bewege $e^{w^{2}}$ .

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 22 w e^{w^{2}} + 34 w e^{w^{2}}$

Schritt 4.3.7

Addiere $22 w e^{w^{2}}$ und $34 w e^{w^{2}}$ .

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 56 w e^{w^{2}}$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$34 e^{w^{2}} w^{3} + 56 e^{w^{2}} w$

Schritt 4.5

Stelle die Faktoren in $34 e^{w^{2}} w^{3} + 56 e^{w^{2}} w$ um.

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 56 w e^{w^{2}}$