Analysis Beispiele

$f (v) = 9 \sqrt{v (1 - e^{v})}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{v (1 - e^{v})}$ als ${v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d v} [9 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Da $9$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $9 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}$ nach $v$ gleich $9 \frac{d}{d v} [{v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$9 \frac{d}{d v} [{v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ ist $f' (g (v)) g' (v)$ , mit $f (v) = v^{\frac{1}{2}}$ und $g (v) = v (1 - e^{v})$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $v (1 - e^{v})$ .

$9 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $v (1 - e^{v})$ .

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${v (1 - e^{v})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 (\frac{{v (1 - e^{v})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Schritt 9

Bringe ${v (1 - e^{v})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (\frac{1}{2 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{2 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}}$ und $9$ .

$\frac{9}{2 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})]$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{9}{2 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}}$ und $\frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})]$ .

$\frac{9 \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})]}{2 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}}$