Analysis Beispiele

$y = \frac{3 - v^{2}}{3 + v^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ gleich $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ ist mit $f (v) = 3 - v^{2}$ und $g (v) = 3 + v^{2}$ .

$\frac{(3 + v^{2}) \frac{d}{d v} [3 - v^{2}] - (3 - v^{2}) \frac{d}{d v} [3 + v^{2}]}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - v^{2}$ nach $v$ $\frac{d}{d v} [3] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

$\frac{(3 + v^{2}) (\frac{d}{d v} [3] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]) - (3 - v^{2}) \frac{d}{d v} [3 + v^{2}]}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $3$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $v$ gleich $0$ .

$\frac{(3 + v^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [- v^{2}]) - (3 - v^{2}) \frac{d}{d v} [3 + v^{2}]}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

$\frac{(3 + v^{2}) \frac{d}{d v} [- v^{2}] - (3 - v^{2}) \frac{d}{d v} [3 + v^{2}]}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $- v^{2}$ nach $v$ gleich $- \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(3 + v^{2}) (- \frac{d}{d v} [v^{2}]) - (3 - v^{2}) \frac{d}{d v} [3 + v^{2}]}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ gleich $n v^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(3 + v^{2}) (- (2 v)) - (3 - v^{2}) \frac{d}{d v} [3 + v^{2}]}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(3 + v^{2}) (- 2 v) - (3 - v^{2}) \frac{d}{d v} [3 + v^{2}]}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + v^{2}$ nach $v$ $\frac{d}{d v} [3] + \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(3 + v^{2}) (- 2 v) - (3 - v^{2}) (\frac{d}{d v} [3] + \frac{d}{d v} [v^{2}])}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 2.8

Da $3$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $v$ gleich $0$ .

$\frac{(3 + v^{2}) (- 2 v) - (3 - v^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [v^{2}])}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(3 + v^{2}) (- 2 v) - (3 - v^{2}) \frac{d}{d v} [v^{2}]}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ gleich $n v^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(3 + v^{2}) (- 2 v) - (3 - v^{2}) (2 v)}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(3 + v^{2}) (- 2 v) - 2 (3 - v^{2}) v}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) - 2 (3 - v^{2}) v}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) + (- 2 \cdot 3 - 2 (- v^{2})) v}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) - 2 \cdot 3 v - 2 (- v^{2}) v}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{- 6 v + v^{2} (- 2 v) - 2 \cdot 3 v - 2 (- v^{2}) v}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 6 v - 2 v^{2} v - 2 \cdot 3 v - 2 (- v^{2}) v}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3

Multipliziere $v^{2}$ mit $v$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.3.1

Bewege $v$ .

$\frac{- 6 v - 2 (v \cdot v^{2}) - 2 \cdot 3 v - 2 (- v^{2}) v}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3.2

Mutltipliziere $v$ mit $v^{2}$ .

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Schritt 3.4.1.3.2.1

Potenziere $v$ mit $1$ .

$\frac{- 6 v - 2 (v^{1} v^{2}) - 2 \cdot 3 v - 2 (- v^{2}) v}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 6 v - 2 v^{1 + 2} - 2 \cdot 3 v - 2 (- v^{2}) v}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{- 6 v - 2 v^{3} - 2 \cdot 3 v - 2 (- v^{2}) v}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{- 6 v - 2 v^{3} - 6 v - 2 (- v^{2}) v}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.1.5

Multipliziere $v^{2}$ mit $v$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.5.1

Bewege $v$ .

$\frac{- 6 v - 2 v^{3} - 6 v - 2 (- (v \cdot v^{2}))}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.1.5.2

Mutltipliziere $v$ mit $v^{2}$ .

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Schritt 3.4.1.5.2.1

Potenziere $v$ mit $1$ .

$\frac{- 6 v - 2 v^{3} - 6 v - 2 (- (v^{1} v^{2}))}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 6 v - 2 v^{3} - 6 v - 2 (- v^{1 + 2})}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.1.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{- 6 v - 2 v^{3} - 6 v - 2 (- v^{3})}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{- 6 v - 2 v^{3} - 6 v + 2 v^{3}}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 6 v - 2 v^{3} - 6 v + 2 v^{3}$ .

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Schritt 3.4.2.1

Addiere $- 2 v^{3}$ und $2 v^{3}$ .

$\frac{- 6 v - 6 v + 0}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.2.2

Addiere $- 6 v - 6 v$ und $0$ .

$\frac{- 6 v - 6 v}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Subtrahiere $6 v$ von $- 6 v$ .

$\frac{- 12 v}{{(3 + v^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{12 v}{{(3 + v^{2})}^{2}}$