Analysis Beispiele

$y = {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{8}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ ist $f' (g (w)) g' (w)$ , mit $f (w) = w^{8}$ und $g (w) = \frac{1}{w^{3} - 1}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{1}{w^{3} - 1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{8}] \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{3} - 1}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$8 {u_{1}}^{7} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{3} - 1}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{1}{w^{3} - 1}$ .

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{3} - 1}]$

Schritt 2

Schreibe $\frac{1}{w^{3} - 1}$ als ${(w^{3} - 1)}^{- 1}$ um.

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} \frac{d}{d w} [{(w^{3} - 1)}^{- 1}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ ist $f' (g (w)) g' (w)$ , mit $f (w) = w^{- 1}$ und $g (w) = w^{3} - 1$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $w^{3} - 1$ .

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $w^{3} - 1$ .

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (- {(w^{3} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

Schritt 4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $w^{3} - 1$ nach $w$ $\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [- 1]$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [- 1]))$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (3 w^{2} + \frac{d}{d w} [- 1]))$

Schritt 4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $w$ gleich $0$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (3 w^{2} + 0))$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.5.1

Addiere $3 w^{2}$ und $0$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (3 w^{2}))$

Schritt 4.5.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(w^{3} - 1)}^{- 2}$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (3 \cdot {(w^{3} - 1)}^{- 2} w^{2})$

Schritt 4.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$- 24 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} w^{2})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 24 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

Schritt 5.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{w^{3} - 1}$ an.

$- 24 \frac{1^{7}}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

Schritt 5.3

Vereine die Terme

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Schritt 5.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 24 \frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $- 24$ und $\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{7}}$ .

$\frac{- 24}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

Schritt 5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{24}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

Schritt 5.3.4

Kombiniere $\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}}$ und $w^{2}$ .

$- \frac{24}{{(w^{3} - 1)}^{7}} \cdot \frac{w^{2}}{{(w^{3} - 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $\frac{w^{2}}{{(w^{3} - 1)}^{2}}$ mit $\frac{24}{{(w^{3} - 1)}^{7}}$ .

$- \frac{w^{2} \cdot 24}{{(w^{3} - 1)}^{2} {(w^{3} - 1)}^{7}}$

Schritt 5.3.6

Multipliziere ${(w^{3} - 1)}^{2}$ mit ${(w^{3} - 1)}^{7}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.6.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{w^{2} \cdot 24}{{(w^{3} - 1)}^{2 + 7}}$

Schritt 5.3.6.2

Addiere $2$ und $7$ .

$- \frac{w^{2} \cdot 24}{{(w^{3} - 1)}^{9}}$

Schritt 5.3.7

Bringe $24$ auf die linke Seite von $w^{2}$ .

$- \frac{24 w^{2}}{{(w^{3} - 1)}^{9}}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.4.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$- \frac{24 w^{2}}{{(w^{3} - 1^{3})}^{9}}$

Schritt 5.4.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = w$ und $b = 1$ .

$- \frac{24 w^{2}}{{((w - 1) (w^{2} + w \cdot 1 + 1^{2}))}^{9}}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache.

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Schritt 5.4.3.1

Mutltipliziere $w$ mit $1$ .

$- \frac{24 w^{2}}{{((w - 1) (w^{2} + w + 1^{2}))}^{9}}$

Schritt 5.4.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{24 w^{2}}{{((w - 1) (w^{2} + w + 1))}^{9}}$

Schritt 5.4.4

Wende die Produktregel auf $(w - 1) (w^{2} + w + 1)$ an.

$- \frac{24 w^{2}}{{(w - 1)}^{9} {(w^{2} + w + 1)}^{9}}$