Analysis Beispiele

$h (w) = {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ ist $f' (g (w)) g' (w)$ , mit $f (w) = w^{\frac{5}{2}}$ und $g (w) = w^{2} + 2 w + 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $w^{2} + 2 w + 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $w^{2} + 2 w + 4$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

Schritt 2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

Schritt 3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$\frac{5}{2} {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und ${(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [w^{2} + 2 w + 4]$

Schritt 7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $w^{2} + 2 w + 4$ nach $w$ $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [2 w] + \frac{d}{d w} [4]$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [2 w] + \frac{d}{d w} [4])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + \frac{d}{d w} [2 w] + \frac{d}{d w} [4])$

Schritt 9

Da $2$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $2 w$ nach $w$ gleich $2 \frac{d}{d w} [w]$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2 \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [4])$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d w} [4])$

Schritt 11

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2 + \frac{d}{d w} [4])$

Schritt 12

Da $4$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $w$ gleich $0$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2 + 0)$

Schritt 13

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Addiere $2 w + 2$ und $0$ .

$\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2)$

Schritt 13.2

Stelle die Faktoren von $\frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2} (2 w + 2)$ um.

$(2 w + 2) \frac{5 {(w^{2} + 2 w + 4)}^{\frac{3}{2}}}{2}$