Analysis Beispiele

$\ln (\cos (w - 1))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ ist $f' (g (w)) g' (w)$ , mit $f (w) = \ln (w)$ und $g (w) = \cos (w - 1)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (w - 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d w} [\cos (w - 1)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d w} [\cos (w - 1)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (w - 1)$ .

$\frac{1}{\cos (w - 1)} \frac{d}{d w} [\cos (w - 1)]$

Schritt 2

Wandle von $\frac{1}{\cos (w - 1)}$ nach $\sec (w - 1)$ um.

$\sec (w - 1) \frac{d}{d w} [\cos (w - 1)]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ ist $f' (g (w)) g' (w)$ , mit $f (w) = \cos (w)$ und $g (w) = w - 1$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $w - 1$ .

$\sec (w - 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d w} [w - 1])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$\sec (w - 1) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d w} [w - 1])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $w - 1$ .

$\sec (w - 1) (- \sin (w - 1) \frac{d}{d w} [w - 1])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $w - 1$ nach $w$ $\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 1]$ .

$\sec (w - 1) (- \sin (w - 1) (\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 1]))$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec (w - 1) (- \sin (w - 1) (1 + \frac{d}{d w} [- 1]))$

Schritt 4.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $w$ gleich $0$ .

$\sec (w - 1) (- \sin (w - 1) (1 + 0))$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\sec (w - 1) (- \sin (w - 1) \cdot 1)$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\sec (w - 1) (- \sin (w - 1))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren von $\sec (w - 1) (- \sin (w - 1))$ um.

$- \sec (w - 1) \sin (w - 1)$

Schritt 5.2

Schreibe $\sec (w - 1)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{1}{\cos (w - 1)} \sin (w - 1)$

Schritt 5.3

Kombiniere $\sin (w - 1)$ und $\frac{1}{\cos (w - 1)}$ .

$- \frac{\sin (w - 1)}{\cos (w - 1)}$

Schritt 5.4

Wandle von $\frac{\sin (w - 1)}{\cos (w - 1)}$ nach $\tan (w - 1)$ um.

$- \tan (w - 1)$