Analysis Beispiele

$\frac{w - 5}{w^{5}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [\frac{f (w)}{g (w)}]$ gleich $\frac{g (w) \frac{d}{d w} [f (w)] - f (w) \frac{d}{d w} [g (w)]}{{g (w)}^{2}}$ ist mit $f (w) = w - 5$ und $g (w) = w^{5}$ .

$\frac{w^{5} \frac{d}{d w} [w - 5] - (w - 5) \frac{d}{d w} [w^{5}]}{{(w^{5})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(w^{5})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{w^{5} \frac{d}{d w} [w - 5] - (w - 5) \frac{d}{d w} [w^{5}]}{w^{5 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{w^{5} \frac{d}{d w} [w - 5] - (w - 5) \frac{d}{d w} [w^{5}]}{w^{10}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $w - 5$ nach $w$ $\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 5]$ .

$\frac{w^{5} (\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 5]) - (w - 5) \frac{d}{d w} [w^{5}]}{w^{10}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{w^{5} (1 + \frac{d}{d w} [- 5]) - (w - 5) \frac{d}{d w} [w^{5}]}{w^{10}}$

Schritt 2.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $w$ gleich $0$ .

$\frac{w^{5} (1 + 0) - (w - 5) \frac{d}{d w} [w^{5}]}{w^{10}}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{w^{5} \cdot 1 - (w - 5) \frac{d}{d w} [w^{5}]}{w^{10}}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $w^{5}$ mit $1$ .

$\frac{w^{5} - (w - 5) \frac{d}{d w} [w^{5}]}{w^{10}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{w^{5} - (w - 5) (5 w^{4})}{w^{10}}$

Schritt 2.7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{w^{5} - 5 (w - 5) w^{4}}{w^{10}}$

Schritt 2.7.2

Faktorisiere $w^{4}$ aus $w^{5} - 5 (w - 5) w^{4}$ heraus.

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Schritt 2.7.2.1

Faktorisiere $w^{4}$ aus $w^{5}$ heraus.

$\frac{w^{4} w - 5 (w - 5) w^{4}}{w^{10}}$

Schritt 2.7.2.2

Faktorisiere $w^{4}$ aus $- 5 (w - 5) w^{4}$ heraus.

$\frac{w^{4} w + w^{4} (- 5 (w - 5))}{w^{10}}$

Schritt 2.7.2.3

Faktorisiere $w^{4}$ aus $w^{4} w + w^{4} (- 5 (w - 5))$ heraus.

$\frac{w^{4} (w - 5 (w - 5))}{w^{10}}$

Schritt 3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $w^{4}$ aus $w^{10}$ heraus.

$\frac{w^{4} (w - 5 (w - 5))}{w^{4} w^{6}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{w^{4} (w - 5 (w - 5))}{w^{4} w^{6}}$

Schritt 3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{w - 5 (w - 5)}{w^{6}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{w - 5 w - 5 \cdot - 5}{w^{6}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$\frac{w - 5 w + 25}{w^{6}}$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $5 w$ von $w$ .

$\frac{- 4 w + 25}{w^{6}}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 w$ heraus.

$\frac{- (4 w) + 25}{w^{6}}$

Schritt 4.4

Schreibe $25$ als $- 1 (- 25)$ um.

$\frac{- (4 w) - 1 (- 25)}{w^{6}}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 w) - 1 (- 25)$ heraus.

$\frac{- (4 w - 25)}{w^{6}}$

Schritt 4.6

Schreibe $- (4 w - 25)$ als $- 1 (4 w - 25)$ um.

$\frac{- 1 (4 w - 25)}{w^{6}}$

Schritt 4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 w - 25}{w^{6}}$