Analysis Beispiele

$w^{3} \ln (5 w)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [f (w) g (w)]$ gleich $f (w) \frac{d}{d w} [g (w)] + g (w) \frac{d}{d w} [f (w)]$ ist mit $f (w) = w^{3}$ und $g (w) = \ln (5 w)$ .

$w^{3} \frac{d}{d w} [\ln (5 w)] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ ist $f' (g (w)) g' (w)$ , mit $f (w) = \ln (w)$ und $g (w) = 5 w$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 w$ .

$w^{3} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d w} [5 w]) + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$w^{3} (\frac{1}{u} \frac{d}{d w} [5 w]) + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $5 w$ .

$w^{3} (\frac{1}{5 w} \frac{d}{d w} [5 w]) + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{5 w}$ und $w^{3}$ .

$\frac{w^{3}}{5 w} \frac{d}{d w} [5 w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $w^{3}$ und $w$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $w$ aus $w^{3}$ heraus.

$\frac{w \cdot w^{2}}{5 w} \frac{d}{d w} [5 w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Schritt 3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $w$ aus $5 w$ heraus.

$\frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 5} \frac{d}{d w} [5 w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 5} \frac{d}{d w} [5 w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{w^{2}}{5} \frac{d}{d w} [5 w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Schritt 3.3

Da $5$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $5 w$ nach $w$ gleich $5 \frac{d}{d w} [w]$ .

$\frac{w^{2}}{5} (5 \frac{d}{d w} [w]) + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Schritt 3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.1

Kombiniere $5$ und $\frac{w^{2}}{5}$ .

$\frac{5 w^{2}}{5} \frac{d}{d w} [w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 w^{2}}{5} \frac{d}{d w} [w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Schritt 3.4.2.2

Dividiere $w^{2}$ durch $1$ .

$w^{2} \frac{d}{d w} [w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$w^{2} \cdot 1 + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $w^{2}$ mit $1$ .

$w^{2} + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$w^{2} + \ln (5 w) (3 w^{2})$

Schritt 3.8

Stelle die Terme um.

$w^{2} + 3 w^{2} \ln (5 w)$