Analysis Beispiele

$\frac{4 e^{w}}{9 w}$

Schritt 1

Da $\frac{4}{9}$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 e^{w}}{9 w}$ nach $w$ gleich $\frac{4}{9} \frac{d}{d w} [\frac{e^{w}}{w}]$ .

$\frac{4}{9} \frac{d}{d w} [\frac{e^{w}}{w}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [\frac{f (w)}{g (w)}]$ gleich $\frac{g (w) \frac{d}{d w} [f (w)] - f (w) \frac{d}{d w} [g (w)]}{{g (w)}^{2}}$ ist mit $f (w) = e^{w}$ und $g (w) = w$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{w \frac{d}{d w} [e^{w}] - e^{w} \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [a^{w}]$ gleich $a^{w} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{w e^{w} - e^{w} \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{w e^{w} - e^{w} \cdot 1}{w^{2}}$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{w e^{w} - e^{w}}{w^{2}}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $\frac{4}{9}$ mit $\frac{w e^{w} - e^{w}}{w^{2}}$ .

$\frac{4 (w e^{w} - e^{w})}{9 w^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (w e^{w}) + 4 (- e^{w})}{9 w^{2}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{4 w e^{w} - 4 e^{w}}{9 w^{2}}$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{4 e^{w} w - 4 e^{w}}{9 w^{2}}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $4 e^{w}$ aus $4 e^{w} w - 4 e^{w}$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $4 e^{w}$ aus $4 e^{w} w$ heraus.

$\frac{4 e^{w} (w) - 4 e^{w}}{9 w^{2}}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $4 e^{w}$ aus $- 4 e^{w}$ heraus.

$\frac{4 e^{w} (w) + 4 e^{w} (- 1)}{9 w^{2}}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $4 e^{w}$ aus $4 e^{w} (w) + 4 e^{w} (- 1)$ heraus.

$\frac{4 e^{w} (w - 1)}{9 w^{2}}$