Analysis Beispiele

$g (t) = t^{2} - \frac{1}{t^{3}}$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} - \frac{1}{t^{3}}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{3}}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{3}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{3}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{3}}]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = - 1$ und $g (t) = \frac{1}{t^{3}}$ .

$2 t - \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}] + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{t^{3}}$ als ${(t^{3})}^{- 1}$ um.

$2 t - \frac{d}{d t} [{(t^{3})}^{- 1}] + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = t^{3}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t^{3}$ .

$2 t - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 t - (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $t^{3}$ .

$2 t - (- {(t^{3})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 t - (- {(t^{3})}^{- 2} (3 t^{2})) + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$2 t - (- {(t^{3})}^{- 2} (3 t^{2})) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Schritt 2.6

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 t - (- t^{3 \cdot - 2} (3 t^{2})) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$2 t - (- t^{- 6} (3 t^{2})) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 t - (- 3 t^{- 6} t^{2}) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Schritt 2.8

Multipliziere $t^{- 6}$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.8.1

Bewege $t^{2}$ .

$2 t - (- 3 (t^{2} t^{- 6})) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Schritt 2.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 t - (- 3 t^{2 - 6}) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Schritt 2.8.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$2 t - (- 3 t^{- 4}) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$2 t + 3 t^{- 4} + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $\frac{1}{t^{3}}$ mit $0$ .

$2 t + 3 t^{- 4} + 0$

Schritt 2.11

Addiere $3 t^{- 4}$ und $0$ .

$2 t + 3 t^{- 4}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 t + 3 \frac{1}{t^{4}}$

Schritt 3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{t^{4}}$ .

$2 t + \frac{3}{t^{4}}$