Analysis Beispiele

$\ln (1 + t^{2})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \ln (t)$ und $g (t) = 1 + t^{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + t^{2}$ .

$\frac{1}{1 + t^{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + t^{2}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + t^{2}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{1}{1 + t^{2}} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + t^{2}} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + t^{2}} (2 t)$

Schritt 2.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{1 + t^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + t^{2}} t$

Schritt 2.5.2

Kombiniere $\frac{2}{1 + t^{2}}$ und $t$ .

$\frac{2 t}{1 + t^{2}}$

Schritt 2.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{2 t}{t^{2} + 1}$