Analysis Beispiele

$\ln (t + 1) - 0.5 t$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\ln (t + 1) - 0.5 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$ .

$\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \ln (t)$ und $g (t) = t + 1$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 1] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 1] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $t + 1$ .

$\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1]) + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Schritt 2.4

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{1}{t + 1} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{t + 1} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{t + 1}$ mit $1$ .

$\frac{1}{t + 1} + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d t} [- 0.5 t]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 0.5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 0.5 t$ nach $t$ gleich $- 0.5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{t + 1} - 0.5 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{t + 1} - 0.5 \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 0.5$ mit $1$ .

$\frac{1}{t + 1} - 0.5$

Schritt 4

Vereine die Terme

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Schritt 4.1

Um $- 0.5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{1}{t + 1} - 0.5 \cdot \frac{t + 1}{t + 1}$

Schritt 4.2

Kombiniere $- 0.5$ und $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{1}{t + 1} + \frac{- 0.5 (t + 1)}{t + 1}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 0.5 (t + 1)}{t + 1}$