Analysis Beispiele

$f (t) = \sqrt[3]{1 + \tan (t)}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{1 + \tan (t)}$ als ${(1 + \tan (t))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [{(1 + \tan (t))}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{\frac{1}{3}}$ und $g (t) = 1 + \tan (t)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + \tan (t)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d t} [1 + \tan (t)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d t} [1 + \tan (t)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + \tan (t)$ .

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (t))}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d t} [1 + \tan (t)]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (t))}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [1 + \tan (t)]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (t))}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [1 + \tan (t)]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (t))}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [1 + \tan (t)]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (t))}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [1 + \tan (t)]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (t))}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d t} [1 + \tan (t)]$

Schritt 7

Differenziere.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (t))}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d t} [1 + \tan (t)]$

Schritt 7.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(1 + \tan (t))}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(1 + \tan (t))}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [1 + \tan (t)]$

Schritt 7.2.2

Bringe ${(1 + \tan (t))}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (t))}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d t} [1 + \tan (t)]$

Schritt 7.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \tan (t)$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\tan (t)]$ .

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (t))}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\tan (t)])$

Schritt 7.4

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (t))}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d t} [\tan (t)])$

Schritt 7.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [\tan (t)]$ .

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (t))}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Schritt 8

Die Ableitung von $\tan (t)$ nach $t$ ist $\sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (t))}^{\frac{2}{3}}} \sec^{2} (t)$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{3 {(1 + \tan (t))}^{\frac{2}{3}}}$ und $\sec^{2} (t)$ .

$\frac{\sec^{2} (t)}{3 {(1 + \tan (t))}^{\frac{2}{3}}}$