Analysis Beispiele

$g (t) = (2 t + 3 \sqrt{t} + 5) (\sqrt{t} + 4)$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) (\sqrt{t} + 4)]$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) (t^{\frac{1}{2}} + 4)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = 2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5$ und $g (t) = t^{\frac{1}{2}} + 4$ .

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}} + 4] + (t^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{d}{d t} [2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{\frac{1}{2}} + 4$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) (\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [4]) + (t^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{d}{d t} [2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d t} [4]) + (t^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{d}{d t} [2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5]$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d t} [4]) + (t^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{d}{d t} [2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5]$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [4]) + (t^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{d}{d t} [2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5]$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [4]) + (t^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{d}{d t} [2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5]$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d t} [4]) + (t^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{d}{d t} [2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5]$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d t} [4]) + (t^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{d}{d t} [2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5]$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [4]) + (t^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{d}{d t} [2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5]$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) (\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [4]) + (t^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{d}{d t} [2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5]$

Schritt 8.3

Bringe $t^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [4]) + (t^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{d}{d t} [2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5]$

Schritt 9

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 0) + (t^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{d}{d t} [2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5]$

Schritt 10

Addiere $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{d}{d t} [2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5]$

Schritt 11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [5])$

Schritt 12

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [5])$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [3 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [5])$

Schritt 14

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{d}{d t} [3 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [5])$

Schritt 15

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + 3 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [5])$

Schritt 16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + 3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [5])$

Schritt 17

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + 3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [5])$

Schritt 18

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + 3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [5])$

Schritt 19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + 3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [5])$

Schritt 20

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 20.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + 3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [5])$

Schritt 20.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + 3 (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d t} [5])$

Schritt 21

Kombiniere Brüche.

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Schritt 21.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + 3 (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [5])$

Schritt 21.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + 3 \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [5])$

Schritt 21.3

Kombiniere $3$ und $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3 t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [5])$

Schritt 21.4

Bringe $t^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [5])$

Schritt 22

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Schritt 23

Addiere $2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$(2 t + 3 t^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 24

Vereinfache.

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Schritt 24.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 3 t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 24.2

Vereine die Terme

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Schritt 24.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$t \frac{2}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 3 t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 24.2.2

Kombiniere $t$ und $\frac{2}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t \cdot 2}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 3 t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 24.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t$ .

$\frac{2 \cdot t}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 3 t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 24.2.4

Bringe $t^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 t \cdot t^{- \frac{1}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 24.2.5

Multipliziere $t$ mit $t^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 24.2.5.1

Bewege $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (t^{- \frac{1}{2}} t)}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 24.2.5.2

Mutltipliziere $t^{- \frac{1}{2}}$ mit $t$ .

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Schritt 24.2.5.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{2 (t^{- \frac{1}{2}} t^{1})}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 24.2.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 t^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 24.2.5.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 24.2.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 t^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 24.2.5.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 24.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 24.2.7

Dividiere $t^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$t^{\frac{1}{2}} + 3 t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 24.2.8

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 24.2.9

Kombiniere $t^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 24.2.10

Bringe $3$ auf die linke Seite von $t^{\frac{1}{2}}$ .

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{3 \cdot t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 24.2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 24.2.12

Forme den Ausdruck um.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{2} + 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 24.2.13

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 24.2.14

Um $(t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{2} + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.2.15

Kombiniere $(t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$ und $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{2} + \frac{(t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}) \cdot 2}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.2.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{3 + (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}) \cdot 2}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.2.17

Bringe $2$ auf die linke Seite von $(t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$ .

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{3 + 2 (t^{\frac{1}{2}} + 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 24.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 24.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{3 + (2 t^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 4) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{3 + (2 t^{\frac{1}{2}} + 8) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.3

Multipliziere $(2 t^{\frac{1}{2}} + 8) (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 24.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{3 + 2 t^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + 8 (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{3 + 2 t^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 2 t^{\frac{1}{2}} \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 8 (2 + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{3 + 2 t^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 2 t^{\frac{1}{2}} \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 8 \cdot 2 + 8 \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 24.3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 24.3.1.4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{3 + 4 t^{\frac{1}{2}} + 2 t^{\frac{1}{2}} \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 8 \cdot 2 + 8 \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 24.3.1.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{3 + 4 t^{\frac{1}{2}} + 2 t^{\frac{1}{2}} \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 8 \cdot 2 + 8 \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.4.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{3 + 4 t^{\frac{1}{2}} + 3 + 8 \cdot 2 + 8 \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.4.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{3 + 4 t^{\frac{1}{2}} + 3 + 16 + 8 \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 24.3.1.4.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{3 + 4 t^{\frac{1}{2}} + 3 + 16 + 2 \cdot 4 \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.4.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{3 + 4 t^{\frac{1}{2}} + 3 + 16 + 2 \cdot 4 \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.4.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{3 + 4 t^{\frac{1}{2}} + 3 + 16 + 4 \frac{3}{t^{\frac{1}{2}}}}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.4.1.5

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{3 + 4 t^{\frac{1}{2}} + 3 + 16 + \frac{4 \cdot 3}{t^{\frac{1}{2}}}}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.4.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{3 + 4 t^{\frac{1}{2}} + 3 + 16 + \frac{12}{t^{\frac{1}{2}}}}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.4.2

Addiere $3$ und $16$ .

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{3 + 4 t^{\frac{1}{2}} + 19 + \frac{12}{t^{\frac{1}{2}}}}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.5

Addiere $3$ und $19$ .

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{4 t^{\frac{1}{2}} + 22 + \frac{12}{t^{\frac{1}{2}}}}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.6

Faktorisiere $2$ aus $4 t^{\frac{1}{2}} + 22 + \frac{12}{t^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

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Schritt 24.3.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4 t^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (2 t^{\frac{1}{2}}) + 22 + \frac{12}{t^{\frac{1}{2}}}}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $22$ heraus.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (2 t^{\frac{1}{2}}) + 2 (11) + \frac{12}{t^{\frac{1}{2}}}}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.6.3

Faktorisiere $2$ aus $\frac{12}{t^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (2 t^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 11 + 2 \frac{6}{t^{\frac{1}{2}}}}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.6.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 t^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 11$ heraus.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (2 t^{\frac{1}{2}} + 11) + 2 \frac{6}{t^{\frac{1}{2}}}}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.6.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 t^{\frac{1}{2}} + 11) + 2 \frac{6}{t^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (2 t^{\frac{1}{2}} + 11 + \frac{6}{t^{\frac{1}{2}}})}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.7

Um $2 t^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (\frac{2 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{6}{t^{\frac{1}{2}}} + 11)}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (\frac{2 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} + 6}{t^{\frac{1}{2}}} + 11)}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 24.3.1.9.1

Faktorisiere $2$ aus $2 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} + 6$ heraus.

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Schritt 24.3.1.9.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (\frac{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) + 6}{t^{\frac{1}{2}}} + 11)}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.9.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (\frac{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 3}{t^{\frac{1}{2}}} + 11)}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.9.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 3$ heraus.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (\frac{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} + 3)}{t^{\frac{1}{2}}} + 11)}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.9.2

Multipliziere $t^{\frac{1}{2}}$ mit $t^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 24.3.1.9.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (\frac{2 (t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 3)}{t^{\frac{1}{2}}} + 11)}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.9.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (\frac{2 (t^{\frac{1 + 1}{2}} + 3)}{t^{\frac{1}{2}}} + 11)}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.9.2.3

Addiere $1$ und $1$ .

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (\frac{2 (t^{\frac{2}{2}} + 3)}{t^{\frac{1}{2}}} + 11)}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.9.2.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (\frac{2 (t^{1} + 3)}{t^{\frac{1}{2}}} + 11)}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.9.3

Vereinfache $t^{1}$ .

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (\frac{2 (t + 3)}{t^{\frac{1}{2}}} + 11)}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.10

Um $11$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (\frac{2 (t + 3)}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{11 t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}})}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \frac{2 (t + 3) + 11 t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 24.3.1.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \frac{2 t + 2 \cdot 3 + 11 t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \frac{2 t + 6 + 11 t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.1.12.3

Stelle die Terme um.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \frac{2 t + 11 t^{\frac{1}{2}} + 6}{t^{\frac{1}{2}}}}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{2 t + 11 t^{\frac{1}{2}} + 6}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{2 (2 t + 11 t^{\frac{1}{2}} + 6)}{t^{\frac{1}{2}}}}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (2 t + 11 t^{\frac{1}{2}} + 6)}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.4

Kombinieren.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (2 t + 11 t^{\frac{1}{2}} + 6) \cdot 1}{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (2 t + 11 t^{\frac{1}{2}} + 6) \cdot 1}{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.6

Forme den Ausdruck um.

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{(2 t + 11 t^{\frac{1}{2}} + 6) \cdot 1}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.3.7

Mutltipliziere $2 t + 11 t^{\frac{1}{2}} + 6$ mit $1$ .

$t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 t + 11 t^{\frac{1}{2}} + 6}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.4

Um $t^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 t + 11 t^{\frac{1}{2}} + 6}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} + 2 t + 11 t^{\frac{1}{2}} + 6}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 24.6.1

Multipliziere $t^{\frac{1}{2}}$ mit $t^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 24.6.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 2 t + 11 t^{\frac{1}{2}} + 6}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.6.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{t^{\frac{1 + 1}{2}} + 2 t + 11 t^{\frac{1}{2}} + 6}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.6.1.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{t^{\frac{2}{2}} + 2 t + 11 t^{\frac{1}{2}} + 6}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.6.1.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{t^{1} + 2 t + 11 t^{\frac{1}{2}} + 6}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.6.2

Vereinfache $t^{1}$ .

$\frac{t + 2 t + 11 t^{\frac{1}{2}} + 6}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.6.3

Addiere $t$ und $2 t$ .

$\frac{3 t + 11 t^{\frac{1}{2}} + 6}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.6.4

Schreibe $3 t + 11 t^{\frac{1}{2}} + 6$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 24.6.4.1

Schreibe $t$ als ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ um.

$\frac{3 {(t^{\frac{1}{2}})}^{2} + 11 t^{\frac{1}{2}} + 6}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.6.4.2

Es sei $u = t^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u$ für alle $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 u^{2} + 11 u + 6}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.6.4.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 24.6.4.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 6 = 18$ und deren Summe gleich $b = 11$ ist.

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Schritt 24.6.4.3.1.1

Faktorisiere $11$ aus $11 u$ heraus.

$\frac{3 u^{2} + 11 (u) + 6}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.6.4.3.1.2

Schreibe $11$ um als $2$ plus $9$

$\frac{3 u^{2} + (2 + 9) u + 6}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.6.4.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 u^{2} + 2 u + 9 u + 6}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.6.4.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 24.6.4.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(3 u^{2} + 2 u) + 9 u + 6}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.6.4.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{u (3 u + 2) + 3 (3 u + 2)}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.6.4.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 u + 2$ .

$\frac{(3 u + 2) (u + 3)}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.6.4.4

Ersetze alle $u$ durch $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(3 t^{\frac{1}{2}} + 2) (t^{\frac{1}{2}} + 3)}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.7

Um $\frac{(3 t^{\frac{1}{2}} + 2) (t^{\frac{1}{2}} + 3)}{t^{\frac{1}{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(3 t^{\frac{1}{2}} + 2) (t^{\frac{1}{2}} + 3)}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 t^{\frac{1}{2}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 24.8.1

Mutltipliziere $\frac{(3 t^{\frac{1}{2}} + 2) (t^{\frac{1}{2}} + 3)}{t^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(3 t^{\frac{1}{2}} + 2) (t^{\frac{1}{2}} + 3) \cdot 2}{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.8.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(3 t^{\frac{1}{2}} + 2) (t^{\frac{1}{2}} + 3) \cdot 2}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(3 t^{\frac{1}{2}} + 2) (t^{\frac{1}{2}} + 3) \cdot 2 + 5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 24.10.1

Multipliziere $(3 t^{\frac{1}{2}} + 2) (t^{\frac{1}{2}} + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 24.10.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} + 3) + 2 (t^{\frac{1}{2}} + 3)) \cdot 2 + 5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.10.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} + 3 t^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 2 (t^{\frac{1}{2}} + 3)) \cdot 2 + 5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.10.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} + 3 t^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 2 t^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 3) \cdot 2 + 5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.10.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 24.10.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 24.10.2.1.1

Multipliziere $t^{\frac{1}{2}}$ mit $t^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 24.10.2.1.1.1

Bewege $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(3 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) + 3 t^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 2 t^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 3) \cdot 2 + 5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.10.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(3 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 3 t^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 2 t^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 3) \cdot 2 + 5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.10.2.1.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(3 t^{\frac{1 + 1}{2}} + 3 t^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 2 t^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 3) \cdot 2 + 5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.10.2.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(3 t^{\frac{2}{2}} + 3 t^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 2 t^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 3) \cdot 2 + 5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.10.2.1.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{(3 t^{1} + 3 t^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 2 t^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 3) \cdot 2 + 5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.10.2.1.2

Vereinfache $3 t^{1}$ .

$\frac{(3 t + 3 t^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 2 t^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 3) \cdot 2 + 5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.10.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{(3 t + 9 t^{\frac{1}{2}} + 2 t^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 3) \cdot 2 + 5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.10.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{(3 t + 9 t^{\frac{1}{2}} + 2 t^{\frac{1}{2}} + 6) \cdot 2 + 5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.10.2.2

Addiere $9 t^{\frac{1}{2}}$ und $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(3 t + 11 t^{\frac{1}{2}} + 6) \cdot 2 + 5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 t \cdot 2 + 11 t^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 6 \cdot 2 + 5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.10.4

Vereinfache.

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Schritt 24.10.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 t + 11 t^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 6 \cdot 2 + 5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.10.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $11$ .

$\frac{6 t + 22 t^{\frac{1}{2}} + 6 \cdot 2 + 5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.10.4.3

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{6 t + 22 t^{\frac{1}{2}} + 12 + 5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24.10.5

Addiere $12$ und $5$ .

$\frac{6 t + 22 t^{\frac{1}{2}} + 17}{2 t^{\frac{1}{2}}}$