Analysis Beispiele

$f (t) = \tan (e^{7 t}) + e^{\tan (7 t)}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\tan (e^{7 t}) + e^{\tan (7 t)}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\tan (e^{7 t})] + \frac{d}{d t} [e^{\tan (7 t)}]$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (e^{7 t})] + \frac{d}{d t} [e^{\tan (7 t)}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [\tan (e^{7 t})]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \tan (t)$ und $g (t) = e^{7 t}$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $e^{7 t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d t} [e^{7 t}] + \frac{d}{d t} [e^{\tan (7 t)}]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\tan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d t} [e^{7 t}] + \frac{d}{d t} [e^{\tan (7 t)}]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $e^{7 t}$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) \frac{d}{d t} [e^{7 t}] + \frac{d}{d t} [e^{\tan (7 t)}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = 7 t$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $7 t$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [7 t]) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (7 t)}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [7 t]) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (7 t)}]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $7 t$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (e^{7 t} \frac{d}{d t} [7 t]) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (7 t)}]$

Schritt 2.3

Da $7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $7 t$ nach $t$ gleich $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (e^{7 t} (7 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (7 t)}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (e^{7 t} (7 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (7 t)}]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (e^{7 t} \cdot 7) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (7 t)}]$

Schritt 2.6

Bringe $7$ auf die linke Seite von $e^{7 t}$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (7 e^{7 t}) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (7 t)}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d t} [e^{\tan (7 t)}]$ .

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = \tan (7 t)$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $\tan (7 t)$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (7 e^{7 t}) + \frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [\tan (7 t)]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ gleich $a^{u_{3}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (7 e^{7 t}) + e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [\tan (7 t)]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $\tan (7 t)$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (7 e^{7 t}) + e^{\tan (7 t)} \frac{d}{d t} [\tan (7 t)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \tan (t)$ und $g (t) = 7 t$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{4}$ durch $7 t$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (7 e^{7 t}) + e^{\tan (7 t)} (\frac{d}{d u_{4}} [\tan (u_{4})] \frac{d}{d t} [7 t])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\tan (u_{4})$ nach $u_{4}$ ist $\sec^{2} (u_{4})$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (7 e^{7 t}) + e^{\tan (7 t)} (\sec^{2} (u_{4}) \frac{d}{d t} [7 t])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{4}$ durch $7 t$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (7 e^{7 t}) + e^{\tan (7 t)} (\sec^{2} (7 t) \frac{d}{d t} [7 t])$

Schritt 3.3

Da $7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $7 t$ nach $t$ gleich $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (7 e^{7 t}) + e^{\tan (7 t)} (\sec^{2} (7 t) (7 \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (7 e^{7 t}) + e^{\tan (7 t)} (\sec^{2} (7 t) (7 \cdot 1))$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (7 e^{7 t}) + e^{\tan (7 t)} (\sec^{2} (7 t) \cdot 7)$

Schritt 3.6

Bringe $7$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (7 t)$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (7 e^{7 t}) + e^{\tan (7 t)} (7 \cdot \sec^{2} (7 t))$

Schritt 3.7

Bringe $7$ auf die linke Seite von $e^{\tan (7 t)}$ .

$\sec^{2} (e^{7 t}) (7 e^{7 t}) + 7 e^{\tan (7 t)} \sec^{2} (7 t)$

Schritt 4

Stelle die Terme um.

$7 e^{7 t} \sec^{2} (e^{7 t}) + 7 e^{\tan (7 t)} \sec^{2} (7 t)$