Analysis Beispiele

$f (t) = \frac{e^{5 t} + e^{- 5 t}}{e^{3 t}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = e^{5 t} + e^{- 5 t}$ und $g (t) = e^{3 t}$ .

$\frac{e^{3 t} \frac{d}{d t} [e^{5 t} + e^{- 5 t}] - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{{(e^{3 t})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{3 t})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{3 t} \frac{d}{d t} [e^{5 t} + e^{- 5 t}] - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{3 t \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{e^{3 t} \frac{d}{d t} [e^{5 t} + e^{- 5 t}] - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{5 t} + e^{- 5 t}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [e^{5 t}] + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]$ .

$\frac{e^{3 t} (\frac{d}{d t} [e^{5 t}] + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = 5 t$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $5 t$ .

$\frac{e^{3 t} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{3 t} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 t$ .

$\frac{e^{3 t} (e^{5 t} \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5 t$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{3 t} (e^{5 t} (5 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{e^{3 t} (e^{5 t} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{e^{3 t} (e^{5 t} \cdot 5 + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Schritt 4.3.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{5 t}$ .

$\frac{e^{3 t} (5 \cdot e^{5 t} + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = - 5 t$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- 5 t$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 5 t]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 5 t]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 5 t$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + e^{- 5 t} \frac{d}{d t} [- 5 t]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 5 t$ nach $t$ gleich $- 5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + e^{- 5 t} (- 5 \frac{d}{d t} [t])) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + e^{- 5 t} (- 5 \cdot 1)) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + e^{- 5 t} \cdot - 5) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Schritt 6.3.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $e^{- 5 t}$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 \cdot e^{- 5 t}) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = 3 t$ .

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Schritt 7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $3 t$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [3 t])}{e^{6 t}}$

Schritt 7.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ gleich $a^{u_{3}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [3 t])}{e^{6 t}}$

Schritt 7.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $3 t$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t])}{e^{6 t}}$

Schritt 8

Differenziere.

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Schritt 8.1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (e^{3 t} (3 \frac{d}{d t} [t]))}{e^{6 t}}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - 3 (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (e^{3 t} (\frac{d}{d t} [t]))}{e^{6 t}}$

Schritt 8.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - 3 (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (e^{3 t} \cdot 1)}{e^{6 t}}$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $e^{3 t}$ mit $1$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - 3 (e^{5 t} + e^{- 5 t}) e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t}) + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 (e^{5 t} + e^{- 5 t}) e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t}) + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) + (- 3 e^{5 t} - 3 e^{- 5 t}) e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Schritt 9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t}) + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{5 e^{3 t} e^{5 t} + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Schritt 9.4.1.2

Multipliziere $e^{3 t}$ mit $e^{5 t}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.4.1.2.1

Bewege $e^{5 t}$ .

$\frac{5 (e^{5 t} e^{3 t}) + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Schritt 9.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 e^{5 t + 3 t} + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Schritt 9.4.1.2.3

Addiere $5 t$ und $3 t$ .

$\frac{5 e^{8 t} + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Schritt 9.4.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{3 t} e^{- 5 t} - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Schritt 9.4.1.4

Multipliziere $e^{3 t}$ mit $e^{- 5 t}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.4.1.4.1

Bewege $e^{- 5 t}$ .

$\frac{5 e^{8 t} - 5 (e^{- 5 t} e^{3 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Schritt 9.4.1.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 5 t + 3 t} - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Schritt 9.4.1.4.3

Addiere $- 5 t$ und $3 t$ .

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Schritt 9.4.1.5

Multipliziere $e^{5 t}$ mit $e^{3 t}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.4.1.5.1

Bewege $e^{3 t}$ .

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 (e^{3 t} e^{5 t}) - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Schritt 9.4.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{3 t + 5 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Schritt 9.4.1.5.3

Addiere $3 t$ und $5 t$ .

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{8 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Schritt 9.4.1.6

Multipliziere $e^{- 5 t}$ mit $e^{3 t}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.4.1.6.1

Bewege $e^{3 t}$ .

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{8 t} - 3 (e^{3 t} e^{- 5 t})}{e^{6 t}}$

Schritt 9.4.1.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{8 t} - 3 e^{3 t - 5 t}}{e^{6 t}}$

Schritt 9.4.1.6.3

Subtrahiere $5 t$ von $3 t$ .

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{8 t} - 3 e^{- 2 t}}{e^{6 t}}$

Schritt 9.4.2

Subtrahiere $3 e^{8 t}$ von $5 e^{8 t}$ .

$\frac{2 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{- 2 t}}{e^{6 t}}$

Schritt 9.4.3

Subtrahiere $3 e^{- 2 t}$ von $- 5 e^{- 2 t}$ .

$\frac{2 e^{8 t} - 8 e^{- 2 t}}{e^{6 t}}$

Schritt 9.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 e^{8 t} - 8 e^{- 2 t}$ heraus.

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Schritt 9.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 e^{8 t}$ heraus.

$\frac{2 (e^{8 t}) - 8 e^{- 2 t}}{e^{6 t}}$

Schritt 9.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8 e^{- 2 t}$ heraus.

$\frac{2 (e^{8 t}) + 2 (- 4 e^{- 2 t})}{e^{6 t}}$

Schritt 9.5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (e^{8 t}) + 2 (- 4 e^{- 2 t})$ heraus.

$\frac{2 (e^{8 t} - 4 e^{- 2 t})}{e^{6 t}}$

Schritt 9.5.2

Schreibe $e^{8 t}$ als ${(e^{4 t})}^{2}$ um.

$\frac{2 ({(e^{4 t})}^{2} - 4 e^{- 2 t})}{e^{6 t}}$

Schritt 9.5.3

Schreibe $4 e^{- 2 t}$ als ${(2 e^{- t})}^{2}$ um.

$\frac{2 ({(e^{4 t})}^{2} - {(2 e^{- t})}^{2})}{e^{6 t}}$

Schritt 9.5.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e^{4 t}$ und $b = 2 e^{- t}$ .

$\frac{2 ((e^{4 t} + 2 e^{- t}) (e^{4 t} - (2 e^{- t})))}{e^{6 t}}$

Schritt 9.5.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (e^{4 t} + 2 e^{- t}) (e^{4 t} - 2 e^{- t})}{e^{6 t}}$