Analysis Beispiele

$\cos (\sqrt{8 t + 11})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{8 t + 11}$ als ${(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [\cos ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \cos (t)$ und $g (t) = {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [{(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [{(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ und $g (t) = 8 t + 11$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $8 t + 11$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $8 t + 11$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(8 t + 11)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(8 t + 11)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Schritt 8.3

Bringe ${(8 t + 11)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$ und $\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [8 t + 11]$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 t + 11$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [11]$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [11])$

Schritt 10

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $8 t$ nach $t$ gleich $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (8 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [11])$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [11])$

Schritt 12

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (8 + \frac{d}{d t} [11])$

Schritt 13

Da $11$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $11$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (8 + 0)$

Schritt 14

Vereinfache Terme.

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Schritt 14.1

Addiere $8$ und $0$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 8$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$- 8 \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.3

Kombiniere $- 8$ und $\frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 8 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.4

Faktorisiere $2$ aus $- 8 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\frac{2 (- 4 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- 4 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 4 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 4 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$