Analysis Beispiele

$- \cot (t - e^{- t})$

Schritt 1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \cot (t - e^{- t})$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [\cot (t - e^{- t})]$ .

$- \frac{d}{d t} [\cot (t - e^{- t})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \cot (t)$ und $g (t) = t - e^{- t}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $t - e^{- t}$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d t} [t - e^{- t}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cot (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$- (- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d t} [t - e^{- t}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $t - e^{- t}$ .

$- (- \csc^{2} (t - e^{- t}) \frac{d}{d t} [t - e^{- t}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\csc^{2} (t - e^{- t}) \frac{d}{d t} [t - e^{- t}])$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\csc^{2} (t - e^{- t})$ mit $1$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) \frac{d}{d t} [t - e^{- t}]$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t - e^{- t}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- e^{- t}])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 + \frac{d}{d t} [- e^{- t}])$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- e^{- t}$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 - \frac{d}{d t} [e^{- t}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = - t$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- t$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]))$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 - (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]))$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- t$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 - (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]))$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 - e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 5.2

Multipliziere.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 + 1 e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $e^{- t}$ mit $1$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 + e^{- t} \cdot 1)$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $e^{- t}$ mit $1$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 + e^{- t})$