Analysis Beispiele

$A \sin (t) + \cos (k t)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $A \sin (t) + \cos (k t)$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [A \sin (t)] + \frac{d}{d t} [\cos (k t)]$ .

$\frac{d}{d t} [A \sin (t)] + \frac{d}{d t} [\cos (k t)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [A \sin (t)]$ .

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Schritt 2.1

Da $A$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $A \sin (t)$ nach $t$ gleich $A \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$A \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \frac{d}{d t} [\cos (k t)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (t)$ nach $t$ ist $\cos (t)$ .

$A \cos (t) + \frac{d}{d t} [\cos (k t)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d t} [\cos (k t)]$ .

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \cos (t)$ und $g (t) = k t$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $k t$ .

$A \cos (t) + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d t} [k t]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$A \cos (t) - \sin (u) \frac{d}{d t} [k t]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $k t$ .

$A \cos (t) - \sin (k t) \frac{d}{d t} [k t]$

Schritt 3.2

Da $k$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $k t$ nach $t$ gleich $k \frac{d}{d t} [t]$ .

$A \cos (t) - \sin (k t) (k \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$A \cos (t) - \sin (k t) (k \cdot 1)$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $k$ mit $1$ .

$A \cos (t) - \sin (k t) k$

Schritt 4

Stelle die Terme um.

$A \cos (t) - k \sin (k t)$