Analysis Beispiele

$a (1 - e^{- k t}) + b$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a (1 - e^{- k t}) + b$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})] + \frac{d}{d t} [b]$ .

$\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})] + \frac{d}{d t} [b]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})]$ .

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Schritt 2.1

Da $a$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $a (1 - e^{- k t})$ nach $t$ gleich $a \frac{d}{d t} [1 - e^{- k t}]$ .

$a \frac{d}{d t} [1 - e^{- k t}] + \frac{d}{d t} [b]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - e^{- k t}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]$ .

$a (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

Schritt 2.3

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$a (0 + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- e^{- k t}$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [e^{- k t}]$ .

$a (0 - \frac{d}{d t} [e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = - k t$ .

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Schritt 2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- k t$ .

$a (0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$a (0 - (e^{u} \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

Schritt 2.5.3

Ersetze alle $u$ durch $- k t$ .

$a (0 - (e^{- k t} \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

Schritt 2.6

Da $- k$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- k t$ nach $t$ gleich $- k \frac{d}{d t} [t]$ .

$a (0 - (e^{- k t} (- k \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [b]$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$a (0 - (e^{- k t} (- k \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [b]$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$a (0 - (e^{- k t} (- k))) + \frac{d}{d t} [b]$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a (0 + 1 (e^{- k t} (k))) + \frac{d}{d t} [b]$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $e^{- k t}$ mit $1$ .

$a (0 + e^{- k t} k) + \frac{d}{d t} [b]$

Schritt 2.11

Addiere $0$ und $e^{- k t} k$ .

$a e^{- k t} k + \frac{d}{d t} [b]$

Schritt 3

Da $b$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $b$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$a e^{- k t} k + 0$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Addiere $a e^{- k t} k$ und $0$ .

$a e^{- k t} k$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren von $a e^{- k t} k$ um.

$e^{- k t} a k$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren in $e^{- k t} a k$ um.

$a k e^{- k t}$