Analysis Beispiele

$\frac{2 (18 t^{2} - 9 t + 2)}{{(1 - 4 t)}^{3}}$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 (18 t^{2} - 9 t + 2)}{{(1 - 4 t)}^{3}}$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [\frac{18 t^{2} - 9 t + 2}{{(1 - 4 t)}^{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [\frac{18 t^{2} - 9 t + 2}{{(1 - 4 t)}^{3}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = 18 t^{2} - 9 t + 2$ und $g (t) = {(1 - 4 t)}^{3}$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} \frac{d}{d t} [18 t^{2} - 9 t + 2] - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{({(1 - 4 t)}^{3})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 - 4 t)}^{3})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} \frac{d}{d t} [18 t^{2} - 9 t + 2] - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{3 \cdot 2}}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} \frac{d}{d t} [18 t^{2} - 9 t + 2] - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $18 t^{2} - 9 t + 2$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [18 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (\frac{d}{d t} [18 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Schritt 3.3

Da $18$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $18 t^{2}$ nach $t$ gleich $18 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (18 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (18 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Schritt 3.6

Da $- 9$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 9 t$ nach $t$ gleich $- 9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9 + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Schritt 3.9

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9 + 0) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Schritt 3.10

Addiere $36 t - 9$ und $0$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{3}$ und $g (t) = 1 - 4 t$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - 4 t$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - (18 t^{2} - 9 t + 2) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - 4 t$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - (18 t^{2} - 9 t + 2) (3 {(1 - 4 t)}^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Schritt 5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) ({(1 - 4 t)}^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Schritt 5.2

Faktorisiere ${(1 - 4 t)}^{2}$ aus ${(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) ({(1 - 4 t)}^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Faktorisiere ${(1 - 4 t)}^{2}$ aus ${(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9)$ heraus.

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9)) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) ({(1 - 4 t)}^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere ${(1 - 4 t)}^{2}$ aus $- 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) ({(1 - 4 t)}^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])$ heraus.

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9)) + {(1 - 4 t)}^{2} (- 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t]))}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere ${(1 - 4 t)}^{2}$ aus ${(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9)) + {(1 - 4 t)}^{2} (- 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t]))$ heraus.

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t]))}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Schritt 6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Faktorisiere ${(1 - 4 t)}^{2}$ aus ${(1 - 4 t)}^{6}$ heraus.

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t]))}{{(1 - 4 t)}^{2} {(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t]))}{{(1 - 4 t)}^{2} {(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 4 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 4 t]$ .

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 8

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (0 + \frac{d}{d t} [- 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [- 4 t]$ .

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [- 4 t]}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 10

Da $- 4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 4 t$ nach $t$ gleich $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (- 4 \frac{d}{d t} [t])}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 11

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [t]}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2} - 9 t + 2) \cdot 1}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 13

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2} - 9 t + 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 13.2

Kombiniere $2$ und $\frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2} - 9 t + 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$ .

$\frac{2 ((1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2} - 9 t + 2))}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 14

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 ((1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2}) + 12 (- 9 t) + 12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 ((1 - 4 t) (36 t - 9)) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 14.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.1.1

Multipliziere $(1 - 4 t) (36 t - 9)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (1 (36 t - 9) - 4 t (36 t - 9)) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 14.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (1 (36 t) + 1 \cdot - 9 - 4 t (36 t - 9)) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 14.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (1 (36 t) + 1 \cdot - 9 - 4 t (36 t) - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 14.3.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.1.2.1.1

Mutltipliziere $36 t$ mit $1$ .

$\frac{2 (36 t + 1 \cdot - 9 - 4 t (36 t) - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 14.3.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$\frac{2 (36 t - 9 - 4 t (36 t) - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 14.3.1.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 (36 t - 9 - 4 \cdot 36 t \cdot t - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 14.3.1.2.1.4

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.1.2.1.4.1

Bewege $t$ .

$\frac{2 (36 t - 9 - 4 \cdot 36 (t \cdot t) - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 14.3.1.2.1.4.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{2 (36 t - 9 - 4 \cdot 36 t^{2} - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 14.3.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $36$ .

$\frac{2 (36 t - 9 - 144 t^{2} - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 14.3.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 4$ .

$\frac{2 (36 t - 9 - 144 t^{2} + 36 t) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 14.3.1.2.2

Addiere $36 t$ und $36 t$ .

$\frac{2 (72 t - 9 - 144 t^{2}) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 14.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (72 t) + 2 \cdot - 9 + 2 (- 144 t^{2}) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 14.3.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.1.4.1

Mutltipliziere $72$ mit $2$ .

$\frac{144 t + 2 \cdot - 9 + 2 (- 144 t^{2}) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 14.3.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$\frac{144 t - 18 + 2 (- 144 t^{2}) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 14.3.1.4.3

Mutltipliziere $- 144$ mit $2$ .

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 14.3.1.5

Mutltipliziere $18$ mit $12$ .

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 2 (216 t^{2}) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 14.3.1.6

Mutltipliziere $216$ mit $2$ .

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 14.3.1.7

Mutltipliziere $- 9$ mit $12$ .

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} + 2 (- 108 t) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 14.3.1.8

Mutltipliziere $- 108$ mit $2$ .

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} - 216 t + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 14.3.1.9

Multipliziere $2 (12 \cdot 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.1.9.1

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} - 216 t + 2 \cdot 24}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 14.3.1.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} - 216 t + 48}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 14.3.2

Subtrahiere $216 t$ von $144 t$ .

$\frac{- 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} - 72 t + 48}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 14.3.3

Addiere $- 18$ und $48$ .

$\frac{- 288 t^{2} + 432 t^{2} - 72 t + 30}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 14.3.4

Addiere $- 288 t^{2}$ und $432 t^{2}$ .

$\frac{144 t^{2} - 72 t + 30}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Schritt 14.4

Stelle die Terme um.

$\frac{144 t^{2} - 72 t + 30}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$

Schritt 14.5

Faktorisiere $6$ aus $144 t^{2} - 72 t + 30$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.5.1

Faktorisiere $6$ aus $144 t^{2}$ heraus.

$\frac{6 (24 t^{2}) - 72 t + 30}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$

Schritt 14.5.2

Faktorisiere $6$ aus $- 72 t$ heraus.

$\frac{6 (24 t^{2}) + 6 (- 12 t) + 30}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$

Schritt 14.5.3

Faktorisiere $6$ aus $30$ heraus.

$\frac{6 (24 t^{2}) + 6 (- 12 t) + 6 (5)}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$

Schritt 14.5.4

Faktorisiere $6$ aus $6 (24 t^{2}) + 6 (- 12 t)$ heraus.

$\frac{6 (24 t^{2} - 12 t) + 6 (5)}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$

Schritt 14.5.5

Faktorisiere $6$ aus $6 (24 t^{2} - 12 t) + 6 (5)$ heraus.

$\frac{6 (24 t^{2} - 12 t + 5)}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$