Analysis Beispiele

$10 t^{2} \cdot 2^{- t}$

Schritt 1

Da $10$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $10 t^{2} \cdot 2^{- t}$ nach $t$ gleich $10 \frac{d}{d t} [t^{2} \cdot 2^{- t}]$ .

$10 \frac{d}{d t} [t^{2} \cdot 2^{- t}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = 2^{- t}$ .

$10 (t^{2} \frac{d}{d t} [2^{- t}] + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = 2^{t}$ und $g (t) = - t$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- t$ .

$10 (t^{2} (\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d t} [- t]) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $2$ .

$10 (t^{2} (2^{u} \ln (2) \frac{d}{d t} [- t]) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $- t$ .

$10 (t^{2} (2^{- t} \ln (2) \frac{d}{d t} [- t]) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$10 (t^{2} (2^{- t} \ln (2) (- \frac{d}{d t} [t])) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 (t^{2} (2^{- t} \ln (2) (- 1 \cdot 1)) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$10 (t^{2} (2^{- t} \ln (2) \cdot - 1) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 4.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $2^{- t} \ln (2)$ .

$10 (t^{2} (- 1 \cdot (2^{- t} \ln (2))) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 4.3.3

Schreibe $- 1 \cdot 2^{- t}$ als $- 2^{- t}$ um.

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2^{- t} (2 t))$

Schritt 5

Multipliziere $2^{- t}$ mit $2$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1

Bewege $2$ .

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2 \cdot 2^{- t} t)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2^{- t}$ .

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Schritt 5.2.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2^{1} \cdot 2^{- t} t)$

Schritt 5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2^{1 - t} t)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2))) + 10 (2^{1 - t} t)$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$- 10 t^{2} (2^{- t} \ln (2)) + 10 \cdot 2^{1 - t} t$

Schritt 6.3

Stelle die Terme um.

$- 10 \cdot 2^{- t} t^{2} \ln (2) + 10 \cdot 2^{1 - t} t$

Schritt 6.4

Stelle die Faktoren in $- 10 \cdot 2^{- t} t^{2} \ln (2) + 10 \cdot 2^{1 - t} t$ um.

$- 10 t^{2} \cdot 2^{- t} \ln (2) + 10 t \cdot 2^{1 - t}$