Analysis Beispiele

$\sqrt{t} (1 - t^{2})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}} (1 - t^{2})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ und $g (t) = 1 - t^{2}$ .

$t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}] + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - t^{2}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$t^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$t^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [- t^{2}] + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t^{2}$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$t^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d t} [t^{2}]) + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$t^{\frac{1}{2}} (- (2 t)) + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$t^{\frac{1}{2}} (- 2 t) + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4

Multipliziere $t^{\frac{1}{2}}$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Bewege $t$ .

$t \cdot t^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $t$ mit $t^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$t^{1} t^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$t^{1 + \frac{1}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$t^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.5

Addiere $2$ und $1$ .

$t^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 5

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $t^{\frac{3}{2}}$ .

$- 2 \cdot t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 13

Bringe $t^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2

Vereine die Terme

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Schritt 14.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ und $t^{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{2}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2.3

Bringe $t^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{2} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 14.2.4

Multipliziere $t^{2}$ mit $t^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 14.2.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{2 - \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 14.2.4.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 14.2.4.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 14.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}{2}$

Schritt 14.2.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.2.4.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{\frac{4 - 1}{2}}}{2}$

Schritt 14.2.4.5.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 14.2.5

Um $- 2 t^{\frac{3}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 2 t^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2.6

Kombiniere $- 2 t^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 t^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 t^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{- 4 t^{\frac{3}{2}} - t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2.9

Subtrahiere $t^{\frac{3}{2}}$ von $- 4 t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{- 5 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$