Analysis Beispiele

$7 t e^{- \frac{t}{9}}$

Schritt 1

Da $7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $7 t e^{- \frac{t}{9}}$ nach $t$ gleich $7 \frac{d}{d t} [t e^{- \frac{t}{9}}]$ .

$7 \frac{d}{d t} [t e^{- \frac{t}{9}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = e^{- \frac{t}{9}}$ .

$7 (t \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{9}}] + e^{- \frac{t}{9}} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = - \frac{t}{9}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- \frac{t}{9}$ .

$7 (t (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- \frac{t}{9}]) + e^{- \frac{t}{9}} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$7 (t (e^{u} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{9}]) + e^{- \frac{t}{9}} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{t}{9}$ .

$7 (t (e^{- \frac{t}{9}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{9}]) + e^{- \frac{t}{9}} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $- \frac{1}{9}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{t}{9}$ nach $t$ gleich $- \frac{1}{9} \frac{d}{d t} [t]$ .

$7 (t (e^{- \frac{t}{9}} (- \frac{1}{9} \frac{d}{d t} [t])) + e^{- \frac{t}{9}} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $e^{- \frac{t}{9}}$ und $\frac{1}{9}$ .

$7 (t (- \frac{e^{- \frac{t}{9}}}{9} \frac{d}{d t} [t]) + e^{- \frac{t}{9}} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $t$ und $\frac{e^{- \frac{t}{9}}}{9}$ .

$7 (- \frac{t e^{- \frac{t}{9}}}{9} \frac{d}{d t} [t] + e^{- \frac{t}{9}} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 (- \frac{t e^{- \frac{t}{9}}}{9} \cdot 1 + e^{- \frac{t}{9}} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$7 (- \frac{t e^{- \frac{t}{9}}}{9} + e^{- \frac{t}{9}} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 (- \frac{t e^{- \frac{t}{9}}}{9} + e^{- \frac{t}{9}} \cdot 1)$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $e^{- \frac{t}{9}}$ mit $1$ .

$7 (- \frac{t e^{- \frac{t}{9}}}{9} + e^{- \frac{t}{9}})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 (- \frac{t e^{- \frac{t}{9}}}{9}) + 7 e^{- \frac{t}{9}}$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$- 7 \frac{t e^{- \frac{t}{9}}}{9} + 7 e^{- \frac{t}{9}}$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{t e^{- \frac{t}{9}}}{9}$ .

$\frac{- 7 (t e^{- \frac{t}{9}})}{9} + 7 e^{- \frac{t}{9}}$

Schritt 5.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7 t e^{- \frac{t}{9}}}{9} + 7 e^{- \frac{t}{9}}$