Analysis Beispiele

$\frac{x^{4} - 27 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{4} - 27 x^{2}$ und $g (x) = {(x^{2} - 9)}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 27 x^{2}] - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 27 x^{2}] - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 27 x^{2}] - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 27 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]) - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]) - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.4

Da $- 27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 27 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 27 (2 x)) - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 27$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x) - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 9$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x) - (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x) - (x^{4} - 27 x^{2}) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 9$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x) - (x^{4} - 27 x^{2}) (2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $x^{2} - 9$ aus ${(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 9$ aus ${(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x)$ heraus.

$\frac{(x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x)) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $x^{2} - 9$ aus $- 2 (x^{4} - 27 x^{2}) ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ heraus.

$\frac{(x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x)) + (x^{2} - 9) (- 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $x^{2} - 9$ aus $(x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x)) + (x^{2} - 9) (- 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))$ heraus.

$\frac{(x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x^{2} - 9$ aus ${(x^{2} - 9)}^{4}$ heraus.

$\frac{(x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 8

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 4 (x^{4} - 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) + (- 4 x^{4} - 4 (- 27 x^{2})) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.3.1.1

Multipliziere $(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} (4 x^{3} - 54 x) - 9 (4 x^{3} - 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 54 x) - 9 (4 x^{3} - 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 54 x) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.3.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 10.3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.3.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 54 x) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.3.1.2.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.3.1.2.1.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (- 54 x) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.3.1.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{3 + 2} + x^{2} (- 54 x) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.3.1.2.1.2.3

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{4 x^{5} + x^{2} (- 54 x) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.3.1.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 x^{5} - 54 x^{2} x - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.3.1.2.1.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.3.1.2.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 54 (x \cdot x^{2}) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.3.1.2.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 10.3.1.2.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 54 (x^{1} x^{2}) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.3.1.2.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{5} - 54 x^{1 + 2} - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.3.1.2.1.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{4 x^{5} - 54 x^{3} - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.3.1.2.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 9$ .

$\frac{4 x^{5} - 54 x^{3} - 36 x^{3} - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.3.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 54$ mit $- 9$ .

$\frac{4 x^{5} - 54 x^{3} - 36 x^{3} + 486 x - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.3.1.2.2

Subtrahiere $36 x^{3}$ von $- 54 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.3.1.3

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.3.1.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 (x \cdot x^{4}) - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 10.3.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 (x^{1} x^{4}) - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.3.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{1 + 4} - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.3.1.3.3

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.3.1.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.3.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} - 4 (- 27 (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.3.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 10.3.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} - 4 (- 27 (x^{1} x^{2}))}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.3.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} - 4 (- 27 x^{1 + 2})}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.3.1.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} - 4 (- 27 x^{3})}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.3.1.5

Mutltipliziere $- 27$ mit $- 4$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} + 108 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} + 108 x^{3}$ .

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Schritt 10.3.2.1

Subtrahiere $4 x^{5}$ von $4 x^{5}$ .

$\frac{- 90 x^{3} + 486 x + 0 + 108 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.3.2.2

Addiere $- 90 x^{3} + 486 x$ und $0$ .

$\frac{- 90 x^{3} + 486 x + 108 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.3.3

Addiere $- 90 x^{3}$ und $108 x^{3}$ .

$\frac{18 x^{3} + 486 x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.4

Faktorisiere $18 x$ aus $18 x^{3} + 486 x$ heraus.

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Schritt 10.4.1

Faktorisiere $18 x$ aus $18 x^{3}$ heraus.

$\frac{18 x (x^{2}) + 486 x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.4.2

Faktorisiere $18 x$ aus $486 x$ heraus.

$\frac{18 x (x^{2}) + 18 x (27)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.4.3

Faktorisiere $18 x$ aus $18 x (x^{2}) + 18 x (27)$ heraus.

$\frac{18 x (x^{2} + 27)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 10.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.5.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{18 x (x^{2} + 27)}{{(x^{2} - 3^{2})}^{3}}$

Schritt 10.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{18 x (x^{2} + 27)}{{((x + 3) (x - 3))}^{3}}$

Schritt 10.5.3

Wende die Produktregel auf $(x + 3) (x - 3)$ an.

$\frac{18 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$